¿Cuál es la diferencia crucial entre el enfoque de Maynard/Tao y el de Goldston-Pintz-Yildirim que se extiende a k-tuplas primos con $k>2$

Question

Supongamos que $m$ es un número entero positivo. Una cantidad de interés es

$$ H_m = \liminf_{n\to\infty} \left(p_{n+m} - p_n \right) $$

La conjetura del primo gemelo, es, por supuesto $H_1 = 2$ la conjetura de las k-tuplas primos de Hardy y Littlewood afirma que $H_2 = 6$ , $H_3 = 8$ etc. Goldston-Pintz-Yildirim mostraron que bajo la conjetura Elliot-Halberstam, $H_1 < \infty$ un resultado que Yitang Zhang ha establecido recientemente de forma incondicional.

Tengo entendido que los métodos de GPY se limitaban esencialmente al tratar con $m>1$ . Uno de sus resultados no triviales fue que $g_n = p_{n+1} - p_n$ satisface $g_n = o(\log p_n)$ o lo que es lo mismo $\liminf \frac{g_n}{\log p_n} = 0$ lo que obviamente se deduce trivialmente del resultado de Zhang.

Sin embargo, tengo entendido que incluso bajo la conjetura completa de Elliot-Halberstam, GPY fue incapaz de demostrar incluso su resultado más débil para $m\geq 2$ . Maynard y Tao (véase http://arxiv.org/abs/1311.4600 ) han demostrado que, de hecho $H_m < \infty$ . Aparentemente, este trabajo sólo requería el teorema clásico de Bombieri-Vinogradov, ni siquiera la variante que utiliza la prueba de Zhang.

Así que mi pregunta es la siguiente: ¿qué deficiencia tenía el enfoque GPY que no le permitía extenderse a $m>2$ ¿Cómo ha resuelto Maynard este problema?

PD: Pido disculpas si esta pregunta es inapropiada para Mathoverflow. Soy un estudiante que intenta informarse por su cuenta sobre estos resultados recientes en la medida de lo posible, y pensé que este sería probablemente el mejor lugar para plantear mi pregunta.

Answer 1

La principal diferencia es la elección de los pesos del tamiz Selberg. Recomiendo encarecidamente la lectura de Documento de Maynard . Está bien escrito y las ideas centrales están bien explicadas.

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A continuación explicaré brevemente qué son los pesos del tamiz de Selberg, por qué aparecen y qué se eligió de forma diferente en el artículo de Maynard en comparación con el de Goldston Pintz y Yildirim.

Sea $\chi_{\mathcal{P}}(n)$ denotan la función indicadora de los primos. Dada una $k$ -tupla $\mathcal{H}=\{h_1<h_2<\cdots<h_k\}$ el objetivo es elegir una función no negativa $a(n)$ para que

$$\sum_{x<n\leq 2x} \left(\sum_{i=1}^k \chi_{\mathcal{P}}(n)(n+h_i)\right)a(n)\geq \rho \sum_{x<n\leq 2x} a(n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

para alguna constante $\rho>1$ . Si este es el caso, entonces por la no negatividad de $a(n)$ tenemos que para algunos $n$ entre $x$ y $2x$ $$\left(\sum_{i=1}^k\chi_{\mathcal{P}}(n)(n+h_i)\right)\geq \lceil\rho \rceil,$$ por lo que hay al menos $\lceil\rho \rceil$ primos en un intervalo de longitud máxima $h_k-h_1$ . Esto implicaría el teorema de Zhang sobre espacios acotados entre primos, y si podemos tomar $\rho$ arbitrariamente grande, se obtendría el teorema de Maynard-Tao. Sin embargo, si se elige una función $a(n)$ para cuya ecuación $(1)$ esta bodega es muy difícil. Por supuesto, nos gustaría $$a(n)=\begin{cases} 1 & \text{when each of }n+h_{i}\text{ are prime}\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} ,$$ ya que así se maximiza el cociente de los dos lados, pero entonces no podemos evaluar $\sum_{x<n\leq 2x} a(n)$ ya que eso equivale a comprender el problema original. Goldston Pintz y Yildirim utilizan lo que se conoce como Pesos del tamiz Selberg . Eligieron $a(n)$ para que sea $1$ cuando cada uno de $n+h_i$ son primos, y no negativos en otros lugares, de la siguiente manera:

Sea $\lambda_1=1$ y $\lambda_d=0$ cuando $d$ es grande, digamos $d>R$ donde $R<x$ dependerá de $x$ . A continuación, establezca $$a(n)=\left(\sum_{d|(n+h_1)\cdots(n+h_k)} \lambda_d\right)^2.$$ Eligiendo $a(n)$ sea el cuadrado de la suma, es automáticamente no negativo. A continuación, observe que si cada uno de $n+h_i$ es primo, entonces como todos son mayores que $x$ que es mayor que $R$ la suma de $\lambda_d$ consistirá únicamente en $\lambda_1$ . Esto significa que $a(n)=1$ cuando cada uno de los $n+h_i$ son primos, y por tanto $a(n)$ satisface las dos propiedades deseadas. Por supuesto, no queremos $a(n)$ ser grande cuando ninguno, o incluso muy pocos de los $n+h_i$ son primos, por lo que nos queda el difícil problema de optimización de elegir $\lambda_d$ . La optimización en la aplicación clásica del tamiz de Selberg para acotar desde arriba el número de primo-tuplas implica diagonalizar una forma cuadrática, lo que lleva a

$$\lambda_d = \mu(d) \left(\frac{\log(R/d)}{\log R}\right)^k,$$

y así $$a(n)=\left(\sum_{\begin{array}{c} d|(n+h_{1})\cdots(n+h_{k})\\ d<R \end{array}}\mu(d)\left(\frac{\log(R/d)}{\log R}\right)^{k}\right)^{2}.$$

Esta elección no es tan sorprendente ya que la función relacionada $\sum_{d|n}\mu(d) \left(\log(n/d)\right)^k$ se admite en el conjunto de enteros con $k$ factores primos o menos. Goldston Pintz y Yildirim lo modificaron significativamente y utilizaron un tamiz de mayor dimensión para obtener sus resultados.

La diferencia crítica en el enfoque de Maynard y Tao es la elección de pesos de la forma

$$a(n)=\left(\sum_{d_{i}|(n+h_{i})\ \forall i}\lambda_{d_{1}\cdots d_{k}}\right)^{2}.$$ Esto ofrece una mayor flexibilidad, ya que cada $\lambda_{d_1,\dots,d_k}$ se permite depender de los divisores individualmente. Utilizando esta flexibilidad adicional Maynard y Tao establecieron independientemente la ecuación $(1)$ para cualquier $\rho>1$ con $k$ en función de $\rho$ .

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Aquí tiene cuatro estupendos recursos donde puede leer más:

• Maynard's papel .
• Tao's entradas de blog .
• Granville's artículo sobre el teorema de Maynard-Tao y el trabajo de Zhang.
• Soundararajan exposición del argumento de Goldston Pintz y Yildirim.

Answer 2

La diferencia está en la función básica de recuento que consideraron. En el artículo del GPY "Primes in tuples I", la función de recuento utilizada es la siguiente

$$\displaystyle \sum_{n=N+1}^{2N} \left(\sum_{i=1}^k \theta(n + h_i) - \log 3N \right) \Lambda_R (n; \mathcal{H}_k, l)^2$$

En concreto, la clave está en demostrar que esta suma es positiva para todos los grandes $N$ lo que significa que algunas partes de la suma deben tener contribución positiva. El peso $\Lambda_R (n; \mathcal{H}_k, l)^2$ es obviamente positivo, lo que implica que $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^k \theta(n + h_i) - \log 3N \right)$ debe ser positiva, lo que implica que para infinitas $n$ la tupla $n, n+h_1, \cdots, n+h_k$ debe contener al menos dos primos.

Obsérvese que aquí la función de recuento implica $\theta(n) = \log n$ para $n$ un primo, y cero en caso contrario. Esto se basa en la premisa de que esta función es más fácil de trabajar analíticamente que la función característica sobre los primos.

Sin embargo, Maynard logró sortear esta dificultad técnica y pudo trabajar con esta función de recuento en su lugar

$$\displaystyle \sum_{n=N+1}^{2N} \left(\sum_{i=1}^k \chi_{\mathbb{P}}(n+h_i) - \rho\right)w_n.$$

Aquí $\chi_{\mathbb{P}}$ es la función característica sobre los primos, y $\rho$ es un peso positivo.

Edición: Como se señala a continuación, la principal diferencia entre ésta y la función de recuento anterior no es el uso de la función característica $\chi_{\mathbb{P}}(n)$ en $\theta(n)$ (porque mirando la gama de $n$ se puede ver inmediatamente que $\log N < \theta(n+h_i) < \log(2N)$ ). La diferencia, entonces, fue que Maynard pudo obtener un resultado de positividad para (comparando con la función de recuento original) $$\displaystyle \sum_{n=N+1}^{2N} \left(\sum_{i=1}^k \theta(n+h_i) - \rho \log3N\right) w_n,$$ donde $\rho$ puede ser cualquier número positivo. Los detalles de cómo es capaz de obtener estos resultados (o al menos un esbozo de las ideas principales) se dan en la respuesta a continuación, que hay que reconocer que es mucho más profunda que ésta.