Se puede iterar ZFC → NBG?

Question

teoría de conjuntos von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una extensión conservadora de ZFC que contiene "clases" (como la clase de todos los conjuntos) como objetos básicos. "Conservador" significa que cualquier cosa demostrable en NBG sobre los conjuntos también puede probarse en ZFC. Las propiedades esenciales que hacen que esto sea cierto (a diferencia de, por ejemplo, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley, que no es conservadora) son que las clases no pueden ser elementos de otras clases (en particular, las clases de potencia y las clases de función no existen), y la comprensión de clases es "predicativa", es decir, las variables cuantificadas sólo pueden abarcar conjuntos.

Mi pregunta es, ¿se puede iterar la operación "ZFC → NBG"? ¿Podemos añadir a NBG nuevos objetos básicos llamados (digamos) "2-clases" (como la 2-clase de todas las clases), que pueden contener clases como elementos (pero no otras 2-clases), y en los que la comprensión de 2-clases puede utilizar variables cuantificadas que abarcan las clases, pero no las 2-clases? (Bueno, obviamente, nosotros puede pero la verdadera pregunta es si sería conservador respecto a NBG, y por tanto también respecto a ZFC).

Antecedentes: Me pregunto sobre esto como fundamento de la teoría de las categorías. La mayoría de las categorías "grandes" que surgen en matemáticas, fuera de la propia teoría de categorías, pueden definirse en NBG (o incluso en ZFC, más o menos, utilizando el truco habitual de representar las clases propias mediante las fórmulas de primer orden que las definen). Pero en la teoría de categorías, a veces queremos estudiar cosas como "la categoría de categorías grandes" o "la categoría de funtores entre dos categorías grandes", que no pueden definirse en NBG o ZFC. La solución habitual es asumir un universo de Grothendieck (o un cardinal inaccesible), pero esto parece algo extravagante, ya que la mayoría de estas nuevas bestias sólo viven "un nivel más arriba" de las clases en NBG. Así que me pregunto si podemos salirnos con la suya con una extensión conservadora de este tipo.

Answer 1

Hay una forma barata de hacerlo, que puede no ser el enfoque óptimo cuando el objetivo es una tarea sutil (como la pregunta fundacional que tienes en mente). Pero, de nuevo, esto puede ser suficiente.

Trabajando en una teoría adecuadamente fuerte, para simplificar, la forma estándar de comprobar que NBG es conservador sobre ZFC es ver que cualquier modelo $M$ de ZFC puede extenderse a un modelo $N$ de NBG de tal manera que los "conjuntos" de $N$ devuélvenos $M$ . De nuevo para simplificar, supongamos que el modelo $M$ es transitivo. El modelo $N$ que le asociamos es la de Gödel $\mathop{\rm Def}(M)$ la colección de subconjuntos de $M$ que son definibles en primer orden en $M$ de los parámetros (El clases adecuadas son los elementos de $\mathop{\rm Def}(M)\setminus M$ .)

Esto sugiere la sencilla solución de definir los modelos de "NBG iterado" como el resultado de iterar la operación de Gödel. Así, dado un modelo transitivo $M$ de ZFC, el $\alpha$ -ésima iteración sería simplemente lo que solemos denotar $L_\alpha(M)$ .

Me estoy limitando a los modelos transitivos, pero hay una teoría natural de primer orden asociada a cada etapa de la iteración que se acaba de describir (al menos, para "muchos" $\alpha$ ), y supongo que se podría intentar axiomatizarlo decentemente si se aplica suficiente presión.

Hay algunas sutilezas en juego aquí. Una de ellas es que lo más probable es que queramos detener la iteración mucho antes de que nos encontremos con tecnicismos serios ( $\alpha$ tendría que ser un ordinal recursivo, por un lado, pero sospecho que no querríamos aventurarnos mucho más allá del $\omega$ -iteración). Otra es que los objetos que obtenemos con este procedimiento tendrían propiedades salvajemente variables en función de las propiedades específicas de $M$ .

Por ejemplo, si $M$ es el modelo menos transitivo de la teoría de conjuntos, entonces añadimos "rápidamente" una biyección entre $M$ y $\omega$ . En general, si $M$ es menor con alguna propiedad (de primer orden en el universo de la teoría de conjuntos), entonces añadimos "rápidamente" una biyección entre $M$ y el tamaño de los parámetros necesarios para describir esta propiedad (se trata de una vieja observación de estructura fina. "Rápidamente" se puede precisar pedantemente, pero permítanme dejarlo así).

Así que puede que quieras trabajar no con ZFC propiamente dicho, sino con una teoría un poco más fuerte (algo así como ZFC + "hay un modelo transitivo de ZFC" + "hay un modelo transitivo de "ZFC+hay un modelo transitivo de ZFC"" + ...) si se desea cierta estabilidad en la teoría de los modelos transitivos producidos de esta manera. (Por supuesto, se trata de un problema de modelos específicos, no de la teoría "iterada-NBG" por sí mismo ).

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Debo añadir que no conozco ningún trabajo serio en el entorno que he sugerido, con dos excepciones. Una, en su libro sobre Forzamiento de Clases, Sy Friedman menciona brevemente una versión de "Forzamiento de Hiperclases" apropiada para resolver algunas cuestiones que aparecen de forma natural una vez que mostramos, por ejemplo, que ningún forzamiento de clases sobre $L$ puede añadir $0^\sharp$ . La segunda es de Reinhardt en el contexto de los grandes cardinales y las incrustaciones elementales, y es descrita por Maddy en su artículo "Believing the axioms. II". Que yo recuerde, ninguno de los dos trabajos va más allá de las hiperclases, es decir, de las clases de clases.