Persistencia de códigos de barras y secuencias espectrales

Question

Persistente homología es una herramienta que permite el análisis topológico de grandes conjuntos de datos. Desde una perspectiva topológica, la entrada es un filtrado complejo, y el resultado es una secuencia de colecciones de intervalos (uno para cada dimensión) convocó a una persistencia de código de barras. El código de barras proporciona información sobre la homología de las clases que nacen y mueren como variar la escala (filtración de parámetro).

Este es un muy breve resumen no experto. Por ahora hay varios buenos encuesta de artículos sobre el tema por parte de expertos en el campo, por ejemplo por Gunnar Carlsson y Rob Ghrist.

Por otro lado, dado un filtrado compleja $X_\bullet$, se obtiene un espectral sucesión convergente a la homología $H_\ast(X_\bullet)$ (o al menos de sus asociados clasificados de objetos) . Es natural preguntarse cómo la persistencia de código de barras se refiere a este espectro de la secuencia. En un papel formativo en la materia por Carlsson y Zomorodian, los autores se preguntan exactamente esta pregunta en la sección 1.4 de la introducción, alegando que una persistencia intervalo de longitud de $r$ en el código de barras corresponde a un diferencial de $d_{r+1}$. Por lo tanto, en principio, cualquier algoritmo para el cálculo de homología persistente debe dar un algoritmo manera de calcular los diferenciales en un espectral de la secuencia. De modo persistente de homología, que ya tiene muchas aplicaciones fuera de la topología, se convierte en potencialmente aplicables a la topología de la misma.

¿Alguien ha seguido este enfoque, y los algoritmos utilizados para la persistencia de la homología para calcular los diferenciales en un espectral de la secuencia? ¿Lleva esto a cualquier nueva visión teórica?

Me estoy imaginando que por el conocimiento de los valores de un diferencial en una situación dada, uno podría pensar en una descripción de la diferencial (por ejemplo, en términos de cohomology de las operaciones), que se aplica de manera más general.

Edit: El libro de Topología Computacional: Una Introducción por Edelsbrunner y Harer estados Espectral de la Secuencia Teorema en el Capítulo VII.4, que dice más o menos que el total rango de la $E^r_{\ast,\ast}$ página de la espectral de la secuencia es igual al número de homología de las clases de persistencia $r$ o más. Aquí coeficientes son tomadas mod 2. Esto hace precisa la afirmación hecha por Carlsson y Zomorodian.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es no, nadie ha utilizado la persistencia para mejorar la eficiencia algorítmica de la informática diferenciales, aunque, por supuesto, la relación entre la persistencia de los intervalos de una filtración y varios términos en su Leray espectral de la secuencia se han descrito más explícitamente por Basu y Parida.

He aquí una observación elemental: como se menciona en ese artículo por Carlsson y Zomorodian, cada secuencia de $k$-módulos admite una simple reinterpretación como graduado $k[t]$-módulo donde $t$ hechos por mover las cosas hacia adelante un paso a lo largo de la clasificación. La existencia de una persistencia de código de barras depende fundamentalmente de la estructura del teorema para graduales de los módulos a través de graduado PIDs. Desde $k[t]$ es un PID sólo al $k$ es un campo, confiando en que la persistencia no va a resolver los problemas de extensión para usted cuando intenta calcular los diferenciales -- todos los su $E_{\bullet,\bullet}^\bullet$s tendrá que ser espacios vectoriales ya.

Answer 2

hay en realidad un poco más a esta historia. El cómputo de la topología de la comunidad ha hecho luchó con espectral de las secuencias. La conexión a la espectral de secuencias ha sido discutido desde tan temprano como el Carlsson & Zomorodian documento mencionado por Vidit (aunque no necesariamente de forma explícita en ese papel).

Para realizar la conexión claro, el $E_\infty$ página es un graduado $k[t]$-módulo que contiene el "infinito" bares. las barras de longitud $p$ no son exactamente el $p^{th}$ página, sino que, al calcular la homología en la página de $p-1$, usted puede encontrar las barras de longitud $p$ colgando en las imágenes de la $p$-th diferencial.

Hablando de manera informal, en el idioma del álgebra lineal numérica, esto es como mirar sucesivamente más grandes de las diagonales del bloque de los límites de la matriz escrito en una forma adecuada, la reducción de ellos, y, a continuación, `creciendo".

De hecho, este algoritmo (aunque no la conexión directa a la espectral de secuencias) está escrita en el papel `Clara y Comprimir" debido a Bauer et. al

En particular, existe también la cuestión de si otros espectral de secuencias de acelerar la velocidad de cálculo en un sentido práctico. Hay resultados que sugieren asintótica mejoras en ciertos casos. En la práctica, el jurado está todavía fuera.