Recientemente he encontrado el libro La integral de Kurzweil-Henstock y sus diferenciales de Solomon Leader, en el que, si he entendido bien, el proceso de integración HK se modifica de manera que también funciona para dimensiones superiores a 1 (hay una demostración del teorema de Green al final). Siempre he tenido la impresión de que la integración HK no se extiende a n dimensiones, pero la verdad es que no sé por qué.
Así que mi(s) pregunta(s) es(son):
- ¿En qué sentido la integral de Henstock-Kurzweil no puede extenderse a más de una dimensión?
- La construcción de Leader a través de sumandos a continuación parece recordar mucho al trabajo de Jenny Harrison sobre los encadenados. ¿Están los dos relacionados?
- ¿La relación con las medidas del caso unidimensional va en ambos sentidos, es decir, cada medida es un diferencial? ¿Se mantendría esta relación en dimensiones superiores?
A continuación he resumido las principales características de la construcción de Leader.
Una celda es un intervalo cerrado [a,b] en $[-\infty, \infty]$ . Una figura es una unión finita de celdas. Una celda etiquetada en una figura K es un par (I,t) donde I es un intervalo contenido en K, y t es un punto final de I (según Leader, la restricción de que las etiquetas sean puntos finales es clave).
Un indicador es una función $\delta:[-\infty,\infty]\to (0,\infty)$ . Cada calibre asociado a cada punto t una vecindad ' $N_\delta(t)$ que es $(t-\delta(t),t+\delta(t))$ para un t finito, $[-\infty,-\frac1{\delta(-\infty)}]$ y $[\frac1{\delta(-\infty)},\infty]$ para los puntos infinitos. Esto garantiza que $N_\alpha(t) \subset N_\beta(t)$ si $\alpha(t)\leq\beta(t)$ y entonces podemos definir la división de una figura K en celdas etiquetadas como $\delta$ -fina si para cada célula etiquetada $(I,t)$ tenemos $I\subset N_\delta(t)$ .
Entonces, donde entiendo que la teoría de Leader se aleja del desarrollo normal, él define un sumando S como una función sobre células marcadas, y luego construye $\int_K S$ de un sumando S sobre una figura K como límite dirigido de $\sum_{(I,t)\in\mathcal{K}} S(I,t)$ sobre los calibradores $\delta$ , donde $\mathcal{K}$ son $\delta$ -divisiones finas de K (en realidad define un supremum y un infimum del límite y trabaja con ellos).
Algunos resúmenes son, por ejemplo $\Delta([a,b])=b-a$ y $|\Delta|([a,b]=|b-a|$ . Cualquier sumando S puede ser multiplicado por una función mediante $(fS)(I,t)=f(t)S(I,t)$ y cualquier función puede extenderse canónicamente a un sumando $f\Delta$ .
Donde su teoría se vuelve realmente interesante es cuando define los diferenciales como clases de equivalencia de sumandos bajo la relación de equivalencia $S~T$ si $\int_K|S-T|=0$ . A partir de ahí define la diferencial de cualquier función g por $dg=[g\Delta]$ , donde $[S]$ es la clase de equivalencia del sumando S.
A partir de esto llama integrable a una diferencial si sus sumandos representativos S son integrables, y demuestra que todo sumando integrable es de la forma df donde f es una función. Entonces los sumandos absolutamente integrables (los que son tales que $|df|$ es integrable) dan lugar a medidas. Por ejemplo, la diferencial dx, donde x es la función identidad, corresponde a la medida estándar de Lebesgue.
Un último punto de interés es que el teorema fundamental del cálculo puede formularse como $f\Delta=f'df$ où $f'$ es la derivada habitual de f (que en realidad creo que es una gran manera de motivar la definición de derivada puntual en primer lugar).
Sin embargo, en la teoría n-dimensional. Una celda n [a,b] consiste en el paralelepípedo con vértices opuestos (a,a,a,...,a) y (b,b,b,b,...,b). Una celda n etiquetada (I,t) tiene etiquetado uno de los vértices, es $\delta$ -fina si su diámetro es inferior a $\delta(t)$ . El $\Delta^{(n)}g$ viene dada por la suma alternada $\sum_{t\in V_I} (-1)^{\mathcal{N}_I(v)}g(t)$ , donde $V_I$ son los vértices de I, y $N_I(v)$ son el número de coordenadas de v que coinciden con las de la etiqueta t.
Supuestamente (Solomon no da los detalles en su libro), la integración pasa, aunque algunos resultados relativos al teorema fundamental y demás supuestamente no lo hacen. No tengo claro qué pasa con la relación con las medidas.
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Cuando escriba $f=f'df$ , es de suponer que te refieres a $f=f'[dx]$ (o, por el contrario, el $[df]=f'[dx]$ ).
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Vale, he puesto los paréntesis al revés; en lugar de $f\Delta=f'df$ , quieres (si no me equivoco) $[f\Delta]=f'dx$ o, por el contrario $df=f'dx$ . (No veo que se pueda hacer el sumatorio $f\Delta$ igual a cualquier cosa, sólo su clase de equivalencia $[f\Delta]$ que es $df$ .)
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Casi dos años después, me he dado cuenta de otra cosa. Usted dice que $[a,b]$ es un intervalo, y usted sugiere que $\Delta$ y $\lvert\Delta\rvert$ hacer diferentes cosas con él. Pero si $a\leq b$ luego hacen lo mismo. Así que creo que, formalmente, $[a,b]$ es simplemente un par de números reales extendidos, pensados conceptualmente como un orientado intervalo (o paralelogramo, paralelepípedo, etc.). Lo cual me parece bien.