¿Qué se entiende por orbifold liso?

Question

Parece que hay cierta confusión sobre lo que es el espacio tangente a un punto singular de un orbifold.

Por un lado está la noción obvia de que las estructuras suaves en los orbifolds se elevan a estructuras suaves $G$ -estructuras invariantes en $\mathbb R^n$ ( $G$ siendo el grupo finito para que el orbifold sea localmente (sobre algún punto específico $x$ ) el cociente de $\mathbb R^n$ por la acción de $G$ ). Uno podría tener la tentación de considerar los puntos del cono como espacios diferenciables (es decir, subconjuntos de algún $\mathbb R^k$ heredando su estructura diferencial por restricción), sin embargo, se nos dice, por ejemplo, que $\mathbb R^2/\mathbb Z_3$ y $\mathbb R^2/\mathbb Z_4$ son distintos como orbifolds, por lo que no se puede modelar los puntos de los conos simplemente con subconjuntos cónicos de algún $\mathbb R^k$ . La definición en la que "suave" significa "levanta a $G$ -invariante suave' distingue estos dos conos, como el conjunto de funciones con simetría triple y el conjunto de funciones con simetría cuádruple, en $\mathbb R^2$ son distintos. El tercer punto del artículo seminal de Satake [On a Generalization of the Notion of Manifold] corrobora esto, dando $C^\infty$ formas de titulación $p$ en una singularidad $x$ como aquellos $C^\infty$ $p$ -forma en $\mathbb R^n$ que son invariantes bajo $G_x$ . Si exigimos la misma propiedad de los vectores, es decir, que se eleven a $G$ -vectores invariantes en $\mathbb R^n$ entonces tenemos que la dimensión del espacio tangente de un orbifold es la dimensión del subespacio invariante de arriba. En particular, la dimensión tiende a disminuir en los puntos singulares. Por ejemplo, la dimensión del espacio tangente en la singularidad en $\mathbb R^2/\mathbb Z_3$ es 0. Esta noción de vector coincide con la noción de vector como derivación en el germen de las funciones suaves. En este caso las funciones suaves en $\mathbb R^2$ que tienen una simetría de 3 pliegues tienen necesariamente derivadas evanescentes en el origen.

Por otro lado, se encuentran descripciones de orbifolds suaves como objetos que tienen estructuras similares a los haces tangentes, que son localmente $\mathbb R^n/G$ . No está claro qué significa esto en cuanto a las estructuras lisas, pero la explicación anterior de $\mathbb R^2/\mathbb Z_3$ tener un espacio tangente de 0 dimensiones en el punto del cono parece contradecir la noción de que el espacio tangente en la singularidad en $\mathbb R^2/\mathbb Z_3$ es $\mathbb R^2/\mathbb Z_3$ lo que sea que eso signifique.

También se dice que las variedades con límite pueden verse como orbifolds, que tienen la reflexión del grupo de isotropía por $\mathbb Z_2$ a lo largo de sus límites. Sería bueno incluir la nota de que las estructuras diferenciables son diferentes. En concreto, las variedades lisas con fronteras tienen espacios tangentes a lo largo de sus fronteras que tienen la misma dimensión que la variedad. En cambio, el mismo espacio topológico de un orbifold con $\mathbb Z_2$ El grupo de estructuras a lo largo de la frontera debería tener un espacio tangente de una dimensión menos que la dimensión en un punto genérico, si la definición de espacio tangente sigue la pauta de Satake. En efecto, las funciones suaves en $\mathbb R^n$ que localmente tienen simetría por reflexión a través de un hiperplano de codimensión 1, tienen derivadas parciales evanescentes en la dirección normal.

Pido concurrencia o corrección y aclaración, ya que todavía no estoy seguro de tener la noción correcta de espacio tangente a un orbifold, aunque estoy bastante seguro de la primera dada aquí.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: no hablo con la gente sobre los orbifolds. Esta respuesta puede no representar las opiniones de los orbifolders.

Según tengo entendido, el orbifold $\mathbb R^n/G$ se caracteriza por la forma en que los manifiestos se mapean en él, † no por cómo se mapea a los colectores. En particular, el orbifold no es determinado por el anillo de funciones suaves sobre él (es decir, el anillo de $G$ -funciones suaves invariantes en $\mathbb R^n$ ). En particular, el anillo de funciones suaves de triple simetría sobre $\mathbb R^2$ es isomorfo al anillo de funciones cuádruples simétricas sobre $\mathbb R^2$ .

Dado que las funciones suaves en un orbifolio no "recuerdan" todo sobre él, no parece razonable definir el espacio tangente en un punto en términos de derivaciones de funciones suaves. Sin embargo, tenemos otra construcción del espacio tangente en un punto: las clases de equivalencia de las curvas suaves que pasan por ese punto. Como esta definición tiene que ver con los mapas en el espacio en lugar de los mapas de de la misma, esperamos que juegue bien con los orbifolds. Cualquier curva suave que pase por el punto del cono de $\mathbb R^n/G$ se eleva a una curva en $\mathbb R^n$ y cualquier curva en $\mathbb R^n$ induce una curva en $\mathbb R^n/G$ por lo que el espacio tangente a $\mathbb R^n/G$ debe ser el mismo que el espacio tangente a $\mathbb R^n$ . Bueno, no exactamente, ya que una curva en $\mathbb R^n/G$ puede elevarse a una curva en $\mathbb R^n$ en $G$ diferentes maneras. Así que el espacio tangente a $\mathbb R^n/G$ en el punto del cono debería ser realmente el cociente del espacio tangente de $\mathbb R^n$ por la acción de $G$ .

Hasta ahora, parece que estoy argumentando que el espacio tangente a $\mathbb R^n/G$ en el punto del cono debe ser el orbifold $\mathbb R^n/G$ . Pero en realidad quiero decir que el espacio tangente debe ser el espacio tangente de $\mathbb R^n$ junto con la acción de $G$ . El razonamiento es que el espacio vectorial junto con la acción del grupo residual es independiente de cómo se exprese $\mathbb R^n/G$ como cociente de un grupo finito. En otras palabras, aunque un isomorfismo de orbifolds $\mathbb R^n/G\cong M/G'$ no induce isomorfismos $\mathbb R^n\cong M$ o $G\cong G'$ , sí que induce isomorfismos de espacios tangentes y grupos residuales de forma que se respetan las acciones de los grupos residuales sobre los espacios tangentes. Una vez que tu definición de espacio tangente se relaciona canónicamente con el orbifold, puedes pensar en él como quieras.

† A grandes rasgos, un mapa de un colector $M$ a $\mathbb R^n/G$ debería ser lo mismo que un mapa de $M$ a $\mathbb R^n$ excepto que los mapas que difieren por la acción de $G$ deben considerarse como el mismo mapa. Más concretamente, creo que un mapa de $M$ a $\mathbb R^n/G$ debe consistir en un $G$ -espacio de cobertura de $M$ con un $G$ -mapa equivariante a $\mathbb R^n$ .

Answer 2

Para ser rápidos, al igual que los colectores, los orbifolds tienen una dimensión fija. Ésta no varía de un punto a otro. Lo mismo ocurre con sus espacios tangentes. En realidad, esto es cierto para cualquier pila diferenciable etale. Aquí hay más explicaciones:

Como se ha mencionado en muchos de los comentarios, los orbifolds son en realidad instancias de pilas diferenciables. Para dar este salto, tenemos que entender realmente lo que debe ser un mapa suave entre orbifolds. La noción correcta NO es la que introdujo por primera vez Satake, sino que es algo más refinada, los llamados mapas fuertes (o buenos) entre orbifolds. Se trata precisamente de aquellos mapas que inducen morfismos geométricos entre las categorías de gavillas asociadas (véase "Orbifolds, Sheaves and Groupoids" de Pronk y Moerdijk). A partir de ahora, sólo consideraré los mapas fuertes.

Si O es un orbifolio, y f,g:M->O son mapas suaves de una colector, entonces, debido a la estructura de grupo en las cartas, tiene sentido considerar cuándo dos mapas de este tipo son isomorfos. Así pues, a cada colector M, podemos asignar la categoría Hom(M,O)- que es un grupoide (todo mapa entre dos mapas suaves es un isomorfismo). Esta asignación "M \mapsto Hom(M,O)" es un presheaf débil en groupoides sobre la categoría de variedades diferenciables (esto es sólo una forma elegante de decir que es casi un functor contravariante, pero (g^ )(f^ ) y (fg)^* sólo tienen que ser naturalmente isomorfas en lugar de iguales, y luego algunas condiciones de coherencia necesarias para que las cosas sean consistentes después de esto). La cuestión es que, dado otro orbifold, L, la categoría de transformaciones naturales débiles entre Hom( ,O) y Hom( ,L) es naturalmente equivalente a Hom(O,L). Esto significa que los orbifolds se incrustan completamente en las pilas, así que en lugar de estudiar los orbifolds en sí, podemos estudiar los funtores que representan.

El fuctor Hom( ,O) no es sólo un functor, sino que en realidad es una pila (es una "gavilla de groupoides", por lo que satisface algunas condiciones de encolado).

Para hacer esto en la práctica, si se empieza con un orbifold dado como un espacio topológico con una carta, entonces a partir de esta carta, se puede construir un groupoide de Lie propio etale G (Ver "Orbifolds, Sheaves and Groupoids"). Si, en cambio, se nos da una presentación de un grupo de Lie que actúa sobre una variedad con estabilizadores finitos, basta con tomar G como el groupoide de acción. Entonces, el functor Bun_G que asigna a cada colector M el grupoide de paquetes principales de G sobre M es el mismo que el functor Hom( ,O). (En general, un apilamiento diferenciable es un functor débil de colectores a groupoides de la forma Bun_G para algún groupoide de Lie G).

Ahora bien, cada pila tiene una "pila tangente". Esto puede demostrarse mediante un sinsentido abstracto (puedo explicarlo, o puedes consultar "Vector Fields and Flows on Differentiable stacks" de Richard Hepworth). Cuando la pila es X=Bun_G, la pila tangente resulta ser simplemente TX=Bun_TG. (Con TG me refiero a que si se mira el diagrama que expresa G como un objeto grupoide en colectores, se aplica el funtor de tangencia para obtener un objeto grupoide en haces vectoriales, y luego se aplica el funtor de olvido para obtener otro objeto grupoide en colectores, se obtiene TG). Hay un mapa canónico de TX->X. Un haz vectorial sobre una pila X se define como un mapa Y->X de pilas tal que si M->X es cualquier mapa de una variedad, el pullback $Y \times_X M \to M$ es un haz de vectores. En general, TX->X no es un haz vectorial sino un haz de 2 vectores, PERO, si G es etale (o Morita equivalente a un tipo etale), ES un haz vectorial (Ver "Campos y flujos vectoriales sobre pilas diferenciables"). En particular, la dimensión no cambia.

Para ser concretos, si G actúa sobre M, y x está en M, entonces el álgebra de Lie de G_x actúa sobre T_xM. Si p es la imagen de x en M//G (donde aquí me refiero al cociente apilado) entonces T_p (M//G)=T_x(M)//Lie(G_x). Pero, en el caso de los orbifolds, los estabilizadores son finitos, por lo que no tienen álgebras de Lie.

Answer 3

Edición: 26 de noviembre de 2015

Otro ejemplo sobre cómo la difeología representa la estructura suave de los orbifolds: los orbifolds de Seifert, como espacio de fibras de una "variedad fibrosa de Seifert":

http://math.huji.ac.il/~piz/documents/DBlog-Rmk-SeifO.pdf

Edición: 3 de noviembre de 2015

Hace poco tuve que explicar a un alumno la diferencia de un Orbifold (o un V-Manifold) según la definición original de Satake, con "sistemas locales uniformizadores" y "familia definidora", y la versión de Diffeología de estos objetos. Escribí este breve texto (publicado en mi bolg)

http://math.huji.ac.il/~piz/documents/DBlog-Rmk-SO.pdf ,

donde intenté dejar claro y sencillo cómo podemos entender la estructura lisa de un orbifold a través del marco de la difeología. Creo/espero que pueda servir de ayuda.

No impide leer el artículo original sobre el orbifold difeológico

http://www.ams.org/journals/tran/2010-362-06/S0002-9947-10-05006-3/home.html

-------------------------------- 29 de diciembre de 2010

No quiero desanimarte, pero no creo que el espacio tangente sea un buen concepto para los espacios cotizados, especialmente para los orbifolds. Más adecuadas serían las formas diferenciales. Por supuesto, depende de lo que estemos dispuestos a hacer con eso. Pero si consideramos la "geometría simpléctica" podemos evitar definitivamente los espacios tangentes y centrarnos en las formas. Los mapas de momentos, por ejemplo, no necesitan ningún tipo de espacios tangentes para ser definidos y calculados en situaciones incluso más generales que los orbifolds.

Primero concéntrese en lo que quiere demostrar o encontrar, luego elija, en consecuencia, la herramienta adecuada para usar y, sorprendentemente, algunas generalizaciones que provienen sólo de los hábitos de las variedades se vuelven obsoletas, o lo llevan en la dirección equivocada. Permítanme decir directamente, ¿para qué son útiles los espacios tangentes? Por el teorema de Cauchy-Lipschitz sobre las variedades de Hausdorff: generan (localmente y bajo ciertas condiciones) un grupo de difeomorfismos de un parámetro. Así que si te interesan los difeomorfismos de los orbifolds, ve directamente al grupo, y analízalo. Por ejemplo (tomando el enfoque difeológico) puedes comprobar inmediatamente que cualquier difeomorfismo puede intercambiar sólo puntos con grupos de estructura equivalentes, etc. etc. Si se empieza con el campo vectorial ya se tiene un largo camino antes de llegar a este punto de partida.

Answer 4

$\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\cong S^1\times\mathbb{R}$ . puedes usar la co/homología o los grupos fundamentales (si eso está en tu caja de herramientas). puedes notar que uno es contráctil y el otro es homotópicamente equivalente a un círculo (y distinguirlos). puedes notar que uno tiene característica de euler 0 y el otro tiene característica de euler 1 (si esto es algo que puedes calcular).