¿Estos medios aritméticos en los triángulos pitagóricos convergen?

Question

Primitiva de Pitágoras trillizos $a^2 = b^2 + c^2, \gcd(b,c) = 1$ son dados por $a = r^2 + s^2$, $b = r^2 - s^2$ e $c = 2rs$ donde $r > s$ son números naturales. Vamos a la $n$-ésima primitiva de la terna de ser el formado por el $n$-ésimo más pequeño de los pares en orden creciente de $(r,s)$.

Reivindicación 1: Vamos a $\mu_n$ será la media aritmética de la relación de la el perímetro de la hipotenusa del primer $n$ primitiva de Pitágoras trillizos; luego,

$$ \lim_{n \to \infty}\mu_n = \frac{\pi}{2} + \log 2$$

Reivindicación 2: Deje $\mu_x$ será la media aritmética de la relación de la el perímetro de la hipotenusa de todas las primitivas de Pitágoras trillizos en que ninguna de las partes supera $x$; luego,

$$ \lim_{x \to \infty}\mu_x = 1 + \frac{4}{\pi}$$

Actualización 8-Oct-2019: la Reivindicación 2 ha sido demostrado en Mathoverflow.

Datos para la reivindicación 1: de la trama de $\mu_n$ vs $n$ para $n \le 5 \times 10^8$ observamos que $\mu_n$ se aproxima a un valor límite que es somwhere entre $2.263942$ e $2.263944$. El punto medio de la distribución de $\mu_n$ está de acuerdo con la anterior forma cerrada a $6$ decimales. La reivindicación 2 se dispone de datos similares.

Pregunta: ¿Son estos límites conocidos si no, puede ser probado o refutado?

Sage código para la reivindicación 1

r   = 2
s   = 1
n   = sum = 0
max = 10^20
while(r <= max):
    s = 1
    while(s < r):
        a = r^2 + s^2
        b = r^2 - s^2
        if(gcd(a,b) == 1):
            c = 2*r*s
            if(gcd(b,c) == 1):
                n = n + 1
                sum = sum + ((a+b+c)/a).n()
                if(n%10^5 == 0):
                    print(n,sum/n)
        s = s + 1
    r = r + 1

Answer 1

$\newcommand{\h}{\mathcal{h}}$ $\newcommand{\n}{\mathcal{n}}$ $\newcommand{\deq}{\stackrel{\text{def}}{=}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}$

Descargo de responsabilidad: esta respuesta ha sido editada para dar cuenta de los cambios en la pregunta, y quitar de reclamos falsos.

Para el primer reclamo: parametrizar Pythaogrean triples, con los habituales de la proyección estereográfica $$(a,b,c)=(q^2-p^2,2pq,q^2+p^2)$$ donde $0<p<q$ e $p,q$ son coprime.

A continuación, vamos a buscar la aymptotic comportamiento como $r\to\infty$ del valor de la media de $$f(t)\deq \frac{2(t+1)}{t^2+1}$$

sobre todos los números racionales $0<t<1$ tales que

$$\h(t)<r$$

donde para un número racional de la forma $p/q$, $p,q$ coprime

$$\h(p/q)\deq \abs{p}\vee\abs{q}\text{.}$$

Escribir $\mu_{\h,r}$ para la probabilidad de medida asociados en tomar la media más racionales $0<t<1$ tal que $\h(t)<r$.

Ahora, $\mu_{\h,r}$ representa una media con respecto a los racionales $t$ tal que $\h(t)<r$. Pero desde $0<t<1$, esto es realmente un medio con respecto a los racionales tales que el denominador $q$ es de menos de $r$. Las secuencias de tales racionales son conocidos como Farey secuencias, y se sabe que estos son asintóticamente equidistributed, de modo que la limitación de medida es la medida de Lebesgue:

$$\lim_{h\to\infty}\mu_{\h,r}=\lambda\text{.}$$

Por lo tanto, el que desee limitar el valor de la media es

$$\int_0^1\frac{2(t+1)\mathrm{d}t}{t^2+1}=\frac{\pi}{2}+\log 2\text{.}$$

Edit: como @Azul señaló en los comentarios, debemos tomar en cuenta con exclusión de las fracciones para que tanto el numerador y el denominador son impares. Es probable que estos también pueden ser mostrados para ser equidistributed por Weyl del Criterio.

Answer 2

Creo que el límite de la media de perímetro/hipotenusa valores depende del orden en que las ternas Pitagóricas se generan.

El programa en el OP genera los triples $(r^2+s^2, 2rs, r^2-s^2)$ en orden creciente de $r$. La descripción, sin embargo, fue (antes de la edición) acerca de tomar el promedio de los triángulos con la hipotenusa a continuación algunos de los obligados $n$ (y luego dejar que $n$ ir hasta el infinito).

Esta obligado cambia el resultado, porque si $r^2$ está cerca de a $n$, a continuación, $s$ no puede tomar valores casi tan alta como la $r$ porque es delimitada por $\sqrt{n−r^2}$. Esto deja fuera algunos más aguda triángulos (con $s$ cerca de $r$) que tienen una proporción baja, por lo que se incrementa el valor de la media. Si genera la triplica en orden creciente de $r$, los agudos triángulos son estructuralmente desplazado anteriormente en la secuencia en comparación con si usted lo ha generado con el fin de aumentar la hipotenusa, por lo tanto, todos los parciales de los promedios más pequeños.

Tengo un límite de alrededor de $2.2732$ lugar.

Aquí está el straighforward C# código que he usado. max es el (estricto) límite superior sobre la hipotenusa de longitud.

  using System;

  namespace test
  {
     /* max     average
      * 10^7    2.2734207124719
      * 10^8    2.27329667075612
      * 10^9    2.27325757481033
      * 10^10   2.27324525141887
      * 10^11   2.27324135532923
      */
     class Msepythlimit
     {
        static void Main()
        {
           long n = 0;
           double sum = 0;
           double max = 10000000;
           for (long r = 2; r*r <= max; r++)
           {
              for (long s = 1 + r % 2; s < r && s * s + r * r < max; s++)
              {
                 if (Gcd(r, s) == 1)
                 {
                    long a = r * r + s * s;
                    long b = r * r - s * s;
                    long c = 2 * r * s;
                    n++;
                    sum += (double)(a + b + c) / a;
                    if (n % 100000 == 0) Console.WriteLine("{0}: {1}", n, sum / n);
                 }
              }
           }
           double avg = sum / n;
           Console.WriteLine(avg);
        }

        static long Gcd(long a, long b)
        {
           long x = a;
           long y = b;
           while (x > 0)
           {
              long t = y % x;
              y = x;
              x = t;
           }
           return y;
        }
     }
  }

Answer 3

Para la Reivindicación 1, aquí es la generalización de la respuesta dada por @KBDave que me podía venir. Todos los ingredientes de la prueba que se presente en su respuesta de allí yo no soy la repetición de ellas, en cambio, yo sólo indicando los resultados.

Deje $(a,b,c)$ ser un triplete de Pitágoras, no necesariamente primitivo, de tal manera que $f(a,b,c) = g\left(\frac{p}{q}\right)$ para algunos enteros positivos $q > p$. Deje $\mu_n(a,b,c)$ ser el valor de la media de $f\left(a,b,c\right)$ para el primer $n$ trillizos cuando dispuestas en orden creciente de $(q,p)$ sin repetición. Si $g(x)$ es Riemann integrable en $(0,1)$ a continuación,

$$\lim_{n \to \infty}\mu_n(a,b,c) = \int_{0}^1 g\left(x\right)dx.$$

La diferencia clave es que en la condición primitiva de trillizos es relajado ya que la distribución uniforme tiene con no primitivo trillizos si no hay repetición.

Una aplicación: Toma de $f(a,b,c) = bc/a^2$ esto implica que en promedio, el área del rectángulo formado por las dos perpendiculares lados de un triángulo de Pitágoras es $1 - \log 2 \approx 30.7\%$ de la zona de la plaza formada por la hipotenusa.