Si un triángulo se puede desplazar sin distorsión, ¿la superficie debe tener una curvatura constante?

Question

Supongamos $S$ es una de Riemann 2-colector (por ejemplo, una superficie en $\mathbb{R}^3$). Deje $T$ ser un triángulo geodésico en $S$: un triángulo cuyos bordes son geodesics. Si $T$ puede moverse arbitrariamente en $S$, mientras que el restante congruentes (borde de las longitudes de las mismas, vértice ángulos de la misma), ¿esto implica que $S$ tiene curvatura constante?

Me doy cuenta de que esta es una pregunta ingenua. Si $S$ tiene curvatura constante, a continuación, $T$ puede se mueven sin distorsión. Me gustaría ver el razonamiento para la inversa: Si $T$ se puede mover alrededor, mientras que el mantenimiento de la congruencia, a continuación, $S$ debe tener curvatura constante. Lo que no me queda claro es cómo formalizar "a moverse."

Answer 1

Ya Riemann en su famoso "En la Hipótesis de Que se encuentran en las Bases de la Geometría", concluye que los espacios de curvatura constante son precisamente aquellos en los que las figuras se puede mover sin distorsión. Sin embargo, como usted bien dijo, una libre movilidad de los cuerpos rígidos es bastante sutil noción. Para una perspectiva histórica sobre este problema ver https://arxiv.org/abs/math/0305023 (De cuaterniones a la cosmología: espacios de curvatura constante, ca. 1873-1925, por Moritz Epple) y https://arxiv.org/abs/1310.7334 (El problema de espacio en la luz de la relatividad: los puntos de vista de H. Weyl y E. Cartan, por Erhard Scholz). También Jürgen Jost proporciona una detallada e interesante los comentarios sobre Riemann papel en el libro https://www.springer.com/us/book/9783319260402

Answer 2

Este es el tipo de respuesta y tipo de no. Voy a dejar que sea el juez:

Supongamos que formular la pregunta, no en términos de 'movimiento' (la cual usted a la izquierda vago) pero en términos de 'libremente copia" de un triángulo $T$, como sigue:

Deje $(S,g)$ ser una superficie de Riemann, y deje $T$ ser un triángulo, es decir, un triple de puntos de $(p_1,p_2,p_3)$ en la superficie junto con tres geodésica segmentos de $\gamma_{ij}=\gamma_{ji}$ para $i\not=j$ donde $p_i$ e $p_j$ son los extremos de $\gamma_{ij}$. Deje $\ell_{ij}>0$ ser la longitud de la línea geodésica segmento de $\gamma_{ij}$.

Ahora, supongamos que, de-lado-ángulo-lado tiene para este $T$ en el siguiente sentido: Siempre $(q_1,q_2,q_3)$ los tres puntos de $S$ e $\eta_{12}$, respectivamente $\eta_{13}$, son geodésica segmentos de longitud $\ell_{12}$, respectivamente $\ell_{13}$, con extremos de $q_1$ e $q_2$, respectivamente $q_1$ e $q_3$, de modo que el ángulo entre estos geodésica segements en $q_1$ es el mismo que el ángulo entre la línea geodésica segmentos de $\gamma_{12}$ e $\gamma_{13}$ a $p_1$, entonces existe una geodésica segmento de $\eta_{23}$ de la longitud de la $\ell_{23}$ con extremos de $q_2$ e $q_3$, de tal manera que para todos los $i,j,k$ distintos, el ángulo entre el $\eta_{ij}$ e $\eta_{ik}$ es el mismo que el ángulo entre el $\gamma_{ij}$ e $\gamma_{ik}$.

¿Es entonces que siga $S$ constante de la curvatura de Gauss?

La respuesta es "no", incluso si $S$ es una esfera: Vamos a $(S,g)$ ser un Zoll esfera en la que todos los geodesics están cerrados, y de la longitud de la $L$. Fijar un punto de $p$ y deje $T$ ser un triángulo con vértices $(p_1,p_2,p_3) = (p,p,p)$ y dejar los laterales ser cualquiera de las tres geodésica segmentos de $\gamma_{ij}$ de la longitud de la $L$ con extremos de $p_i=p$. Este 'triángulo' se puede copiar a cualquier triángulo $T'$ con vértices $q_i=q$ por la elección de la línea geodésica segmentos de $\eta_{ij}$, de modo que el ángulo entre los lados son iguales a los ángulos entre los lados correspondientes de $T$.

Answer 3

Este es un enfoque para la formalización de "mueve alrededor". Deje $G=(V,E)$ un gráfico. Deje $p:V\rightarrow S$ ser una colocación de $G$, es decir, un mapa desde el vértice conjunto de $G$ a $S$. Vamos a llamar los datos de $(G,p)$ un marco en $S$. Vamos a definir un movimiento de $(G,p)$ a ser un continuo de la familia de las colocaciones $f:V\times[0,1]\rightarrow S$ tal forma que:

1. $f(v,0) = p(v)$ para todos los $v\in V$, es decir, el movimiento comienza en $p$.
2. $d_S(f(u,t),f(v,t))=d_S(p(u),p(v))$ para todos los $uv\in E$ y todos los $t\in[0,1]$ donde $d_S(\cdot,\cdot)$ es la distancia de la función en $S$. Esta condición sólo indica que el movimiento conserva las longitudes de todas las aristas de la $G$.
3. $\alpha_t(u,v,w)=\alpha_0(u,v,w)$ para todos los triples de vértices $uvw$ tal que $uv\in E$ e $vw\in E$ donde $\alpha_t(u,v,w)$ es el ángulo entre la línea geodésica segmentos de $uv$ e $vw$ a $v$. Esta condición asegura que el movimiento conserva todos los ángulos entre pares adyacentes de los bordes de las $G$.

[Estos sistemas están relacionados con el punto de la línea de marcos de Jackson y Owen, y también el trabajo de la enfermedad de Tay, Whiteley, Jackson y Jordán y otros en 2D gráficos moleculares y marcos (ver, por ejemplo, este artículo de Jackson y el Jordán.]

Su pregunta, en esencia: Vamos a $(G,p)$ ser el marco construido a partir de un triángulo geodésico $T$ a $S$. Supongamos que existe un movimiento de $(G,p)$ a cualquier otro congruentes geodésica triángulo (es decir, uno con las mismas longitudes, ángulos y la orientación como $T$). ¿Esto implica que $S$ tiene curvatura constante?

Sospecho que la respuesta es no, por una posiblemente tonta razón. No es obvio para mí que los genéricos incrustado superficies necesita tener algún pares de distintos congruencia de triángulos geodésicos en absoluto; la condición sería vacua en tales superficies, que también no tiene curvatura constante. Así que vamos a añadir una condición adicional en $S$ que tales pares de existir.

editar:

Gracias a la respuesta de Zurab Silagadze, puedo ver que una respuesta positiva a una pregunta relacionada fue reclamado por Riemann en §II.4 de su famoso artículo "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen", (véase también la traducción al inglés por Clifford). Aquí es una versión editada de Clifford de la traducción del pasaje en cuestión:

El carácter común de los colectores con curvatura constante también puede ser expresado así, que las cifras se pueden mover en ellos sin estirar. Claramente cifras podrían no ser arbitrariamente cambió y se volvió en si la curvatura en cada punto no eran las mismas en todas las direcciones. Por otro lado, sin embargo, la medida de las relaciones del colector son enteramente determinado por la curvatura; por lo tanto, son exactamente la misma en todas las direcciones en un punto como en otro, y, en consecuencia, el mismo construcciones puede ser hecha de la misma: de donde se deduce que en los colectores con curvatura constante de las cifras puede ser dada en cualquier posición arbitraria.

No está claro para mí lo que las "cifras" están siendo considerados aquí, y tengo que admitir que no entendía de qué es exactamente demostrado aquí, si cualquier cosa. De acuerdo con el §2.2 de Hans Freudenthal la "Mentira grupos en los fundamentos de la geometría", la primera prueba fue dada por Rudolf Lipschitz en la década de 1870 papel Fortgesetzte Untersuchungen en Betreff der ganzen homogenen Functionen von n Differentialen. Por desgracia, mi alemán no es hasta la tarea de encontrar la declaración precisa en este documento. Toda la toma?

Answer 4

Es más conveniente hablar de las bisagras, es decir, un par de caras que concurren en un vértice. En espacios de curvatura constante bisagras pueden ser transportadas sin distorsión tan largo como el ángulo en el vértice, se conserva. En el rango de 1 simétrica espacios para las bisagras pueden ser transportadas sin distorsión tan largo como un par de ángulos en el vértice se conservan. Por lo tanto, en el contexto de las complejas espacios proyectivos, uno tiene un sistema bien desarrollado de la trigonometría, incluyendo el teorema de los cosenos expresan el tercer lado en términos de los bordes de la bisagra y los dos ángulos. Este parece haber sido escrito por primera vez por Shirokov en la década de 1950. Para un estudio de los complejos proyectiva de la trigonometría ver por ejemplo, este artículo 1991 en Geometriae Dedicata.

Answer 5

La integral sobre un triángulo de la curvatura es igual a la diferencia entre la suma de ángulos para un triángulo en una superficie plana (es decir,$\pi$) y la suma real de ángulos para ese triángulo. $\sum \theta = \pi + \int \kappa $. Para que dos triángulos sean congruentes, su suma de ángulos debe ser igual. Por lo tanto, es suficiente mostrar que mover el triángulo no cambia$\int \kappa $.