¿Cómo visualizar el teorema de Riemann-Roch a partir de análisis complejos o consideraciones de topología geométrica?

Question

Como pregunta el título de la pregunta, ¿cómo visualizan otros el teorema de Riemann-Roch con análisis complejos o consideraciones de topología geométrica? Eso es todo lo que Riemann habría tenido en el día, y me recuerda a Thurston en el sentido de que acaba de hacer un dibujo y luego apareció la prueba. Hoy en día, la mayoría de las formulaciones de Riemann-Roch están formuladas en lenguaje algebraico y no invocan ninguna intuición geométrica para el plano complejo, por lo que pregunto aquí. Puntos de bonificación para fotos.

Answer 1

Voy a tratar de dar a este un tiro, pero vengo de una geometría algebraica perspectiva. En el caso de las curvas, no es tan claro para mí lo que la línea entre la geometría algebraica y la geometría compleja es, así que no estoy seguro de si lo que estoy diciendo es lo que estás buscando. De todos modos, supongamos que nuestra curva de $C$ no es hyperelliptic porque quiero usar el canónica de la incrustación porque incrustaciones son más fáciles de visualizar para mí. La de Riemann-Roch teorema dice que para un divisor $D$ a $C$que $$ h^0(D)=1-g+\deg(D)+h^0(K-D) $$ Sabemos que $H^0(K-D)$ es la medición de las secciones de la canónica divisor $K$ que se desvanecen en $D$. Pero, en la canónica de incrustación, $H^0(C,K)=H^0(\mathbb{P}^{g-1},\mathcal{O}(1))$. Por lo tanto, las secciones de la canónica divisor son sólo lineal homogénea de polinomios en un espacio proyectivo. Por lo tanto, $H^0(K-D)$ es sólo hyperplanes en la canónica de incrustación que contienen $D$. Ahora, considere el lineal lapso de $D$, que es un espacio proyectivo $\mathbb{P}^k\cong \text{Span}(D)$. El lineal de los polinomios que se desvanecen en $D$ son los mismos que el lineal de polinomios de fuga en su palmo, $\mathbb{P}^{k}$, y podemos calcular el número de estos. Hay $g-1-k$ de ellos. Volver a conectar dentro de Riemann-Roch, obtenemos $$ h^0(D)=\gr D-\dim \text{Span}(D) $$ Creo que esta afirmación es más susceptible de visualizar debido a que el lado derecho sólo le pide que coloque un montón de puntos en una curva proyectiva del espacio y, a continuación, tomar sus lineal útil. No tengo idea de si esta es la forma de Riemann pensado en ello, pero es sin duda geométricas. Si quieres leer más, he aprendido acerca de este de la Geometría de las Curvas Algebraicas Volumen 1 por Arbarello, Cornalba, Griffiths, y Harris.

Answer 2

Geométricas complejas vista de Riemann-Roch para una curva de $C$:

Lo esencial de Riemann-Roch problema es el cálculo de la dimensión del espacio vectorial $H^0(D)$ donde $D$ es un eficaz divisor a $C$. El primero y más fundamental es el caso de la canónica divisor $K$, cuya dimensión es $\dim H^0(K) = g = \operatorname{genus}(C)$. Geométricamente, esto dice que la variedad Jacobiana $J(C) = H^0(K)^*/H_1(C; \mathbb{Z})$ de la curva es un pequeño complejo de toro de dimensión $g$. A continuación, la geometría de la RR problema para el caso general de una efectiva divisor $D$ grado $d$, es codificada por el Abel-Jacobi mapa de $C^{(d)} \to J(C)$, a partir de la $d$veces simétrica producto de la curva a la Jacobiana. Esto se basa en el teorema de Abel, que dice que la fibra de este mapa que contenga $D$, es exactamente el proyectiva del espacio construido en el espacio vectorial $H^0(D)$, es decir, la fibra es la serie lineal $|D|$. Por lo tanto $\dim H^0(D) = 1 + \dim |D| = 1 + $ dimensión de la fibra que contiene $D$.

Desde el Abel mapa es holomorphic, esto implica que $\dim |D| \geq \dim C^{(d)} - \dim J(C) = d-g$. Por lo tanto $\dim H^0(D) - 1 \geq d -g$o $\dim H^0(D) \geq 1-g+d$, que es el "débil" de Riemann-Roch teorema, es decir, la versión que normalmente se le atribuye a Riemann.

Luego Roch del aumento calcula el rango de la derivada de la de Abel mapa. I. e. utilizando el hecho de que por definición canónica de la mapa en la curva, que se menciona en Samir de Enlatado de la respuesta, es, esencialmente, la derivada de la de Abel mapa, se deduce que el rango lineal de Abel mapa, es decir, el rango de su derivada en $D$, es igual a (uno más) la dimensión de la extensión de los puntos de $D$ canónica en el espacio, es decir $g - \dim H^0(K-D)$. Roch el resultado es que la derivada de la de Abel mapa de los colapsos de la tangente vectores a lo largo de la fibra, por lo que este rango también es igual a la no lineal de rango, es decir, $d - \dim |D|$. Así tenemos a $d-\dim |D| = g-\dim H^0(K-D)$, por lo tanto $\dim H^0(D) = 1 + \dim |D| = 1-g+d + \dim H^0(K-D)$, que es el total de Riemann-Roch teorema.

Así, mirando el Abel mapa de $C^{(d)} \to J(C)$, el RR problema es el cálculo de la dimensión de las fibras, y el TSR dice que la dimensión de la fibra de Abel mapa a través de la $D$, es igual a la dimensión de la fibra, es decir, el núcleo, de la derivada de la de Abel mapa en $D$. Esta igualdad (después de la adición de uno a ambos lados) se expresa en la segunda fórmula en Samir de la respuesta, es decir, la geometría del TSR. I. e. Samir del debate esencialmente explica por qué el lado derecho de su fórmula es igual a (uno más) la nulidad de la derivada de la de Abel mapa, y he tratado de motivar por qué debe ser igual al lado izquierdo, es decir, (uno más) de la dimensión de la |D|. Dicho de otra manera, el TSR sólo dice que la fibra de Abel mapa a través de D es isomorfo a |D| as (no singular) los esquemas, que está a sólo un leve fortalecimiento de Abel del teorema.

Este punto de vista se explica en el clásico papel de Mattuck y Mayer, donde se utiliza para dar una prueba de la TRS, el modulo de la existencia de la variedad Jacobiana. https://eudml.org/doc/83304

Answer 3

Aquí está mi "visual" que viene de la compleja (y funcional) análisis de la perspectiva, debido a una nueva prueba por Taubes. Para un holomorphic línea bundle $E$ más de un género $g$ superficie $C$, el RR teorema establece que $ind_\mathbb{C}(\bar\partial)=c_1(E)+1-g$.

Debido a que el índice de un operador de Fredholm de más de un colector cerrado no cambia si nos perturban por un 0 de la orden (compacto) operador, $ind_\mathbb{R}(\bar\partial)=ind_\mathbb{R}(\bar\partial+rB)$ por cada $r\in\mathbb{R}_+$ y genérico de la sección $B\in\Gamma(E^2\otimes T^{0,1}C)$. Aquí $B$ actúa como un complejo anti-lineal mapa con el fin de definir la perturbación de la $\bar\partial:\Gamma(E)\to\Gamma(E\otimes T^{0,1}C)$.

Ahora podemos visualizar la (co)núcleo de nuestro perturbado operador $r\to\infty$, debido a que los elementos de la (co)en el kernel de localizar/concentrado alrededor de los ceros de $B$. Por lo tanto $ind_\mathbb{R}(\bar\partial)=\# B^{-1}(0)$.

Ahora podemos visualizar y apelación a la "geometría" de la característica de las clases y de las secciones de paquetes: $\# B^{-1}(0)=c_1(E^2\otimes T^{0,1}C)$, lo que equivale a $2c_1(E)+\chi(C)$.