¿Por qué no hay conexión entre las funciones de crecimiento rápido y el análisis complejo?

Question

El otro día me pregunté si las funciones de crecimiento rápido de los naturales a los naturales que estudian personas como los teóricos de la prueba son la restricción a los naturales de las funciones analíticas de los complejos a los complejos. Resulta que, debido a la fórmula de interpolación de Pringsheim, todas lo son. Ahora bien, la ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann contiene mucha información sobre los primos. ¿Podría darse el caso de que la localización de los ceros de algunas de estas continuaciones analíticas de funciones de crecimiento rápido contenga información sobre ordinales contables? ¿Hay alguna razón obvia por la que no puedan? Me pregunto por qué no se ha hecho nunca ninguna conexión entre este material y el análisis complejo ....

Answer 1

Estos ceros pueden estar literalmente en cualquier lugar, por el resultado que citas de que para cualquier conjunto discreto $\{z_n\}$ y cualquier valor $a_n$ hay funciones enteras con $f(z_n)=a_n$ .

Answer 2

He aquí una respuesta inmediata a su pregunta, cortada y pegada del artículo de Wikipedia sobre el factorial función:

La función Pi no es ciertamente la única forma de extender los factoriales a una función definida en casi todos los valores complejos, y ni siquiera es la única que es analítica dondequiera que se defina. Sin embargo, se suele considerar se considera la forma más natural de extender los valores de los factoriales a una función compleja.

Es decir, no hay una forma única de hacer lo que se quiere, incluso para la función factorial. Ni siquiera hay una forma mejor acordada universalmente, o un acuerdo sobre lo que podría significar "mejor".

Para añadir contenido a tu pregunta, creo que es necesario poner algunos ejemplos, y quizás una restricción sensata de las extensiones permitidas.