Cálculos informáticos en un documento

Question

Creo que puedo mejorar el límite superior actual en relación con un problema abierto. Las ideas son puramente combinatorias, pero al final tengo que calcular el máximo de una función realmente fea, no elemental, con cuatro variables. Lo hice con un ordenador, y el resultado fue bueno, así que por eso creo que puedo mejorar la cota. (En el sentido más preciso, ya que no es una prueba real, pero evidentemente no es nada).

Mi primera pregunta es: ¿Qué tipo de cálculos informáticos pueden incluirse en un documento?

Para ser un poco más específico, mi función incluye la inversa de la función de entropía binaria (en realidad ambas inversas). Esta no es una función elemental y no está implementada en Wolfram Mathematica (el programa en el que estoy trabajando). Así que tuve que calcular sus valores numéricamente. Mi función incluye a veces dos de estas funciones anidadas una dentro de otra, pero sólo 3 veces como máximo. Durante el proceso tuve que obtener límites superiores de funciones complicadas con dos variables, lo hice trazándolas y trazando el plano de la constante correspondiente, y observando que la gráfica de la función está bajo el plano.

Para elaborar un poco más, he visto en otros documentos, que si se demuestra que la constante requerida es una solución de una ecuación determinada, está bien parar ahí y decir que "y esta constante es aproximadamente 2,32", ya que esto se puede calcular fácilmente con un error arbitrariamente pequeño. Pero siento que mi prueba no está completa, ya que no conozco el error de la aproximación de mi función, y de alguna manera tampoco me satisfacen los límites del tipo "trazar y observar". Creo que son ciertos, pero este método carece de rigor. Por otro lado, creo que mis verdaderas aportaciones al tema son las ideas combinatorias. Por supuesto, es importante demostrar que realmente mejoran los límites actuales. Pero creo que esto debería ser fácil. Pero las funciones no elementales hacen que no sea tan fácil. Mi segunda pregunta es: ¿Cuál sería la mejor solución, si mi objetivo es escribir un buen artículo?

Answer 1

Sugiero que El trabajo de Thomas Hales sobre la conjetura de Kepler puede servir de modelo. En particular, en este documento,

Solovyev, Alexey, y Thomas C. Hales. "Verificación formal de desigualdades no lineales con aproximaciones de intervalo de Taylor". Métodos formales de la NASA . Springer Berlin Heidelberg, 2013. 383-397. ( enlace al resumen arXiv .)

muestran cómo demostrar desigualdades como

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          (de la página 11 de la versión arXiv.)

Su resumen comienza así:

Presentamos una herramienta formal para la verificación de modelos no lineales multivariantes. no lineales multivariantes. Nuestro método de verificación se basa en la aritmética de intervalos con aproximaciones de Taylor. Nuestra herramienta está implementada en el lenguaje HOL Light y es capaz de verificar desigualdades no lineales multivariantes polinómicas y no polinómicas multivariantes en dominios rectangulares.

Answer 2

Mira aritmética de intervalos . Warwick Tucker lo utilizó para demostrar el decimocuarto problema de Smale, lo que constituye un buen precedente para su uso en una demostración.

Answer 3

Este es un problema al que yo también me he enfrentado. Un enfoque es intentar demostrar límites polinómicos racionales en las funciones relevantes (por series de Taylor con resto, por ejemplo) que sean lo suficientemente precisos como para satisfacer las mismas desigualdades. Entonces se pueden demostrar las desigualdades rigurosamente por varios métodos; el artículo de Solovyev y Hales que Joseph enlaza describe el software libre mejor de lo que yo sabía antes. Si las funciones varían demasiado, puede que tengas que subdividir el dominio y aplicar el método por separado a cada parte.

Entonces te enfrentarás al problema de qué poner en el papel, ya que nadie quiere ver expresiones intermedias de toda una página. Pero al menos puedes describir cómo has construido una demostración rigurosa.

Answer 4

Sugiero echar un vistazo a dos papeles:

Hagedorn, Thomas. "Cálculo de la función de Jacobsthal $h(n)$ para $n< 50$ ." Matemáticas de la Computación 78.266 (2009): 1073-1087.

Hajdu, L., y N. Saradha. "Refutación de una conjetura de Jacobsthal". Mathematics of Computation 81.280 (2012): 2461-2471.

Ambos describen proyectos de cierta envergadura que implican muchos cálculos. Ofrecen descripciones algorítmicas y algunos ejemplos de cálculo. Aunque personalmente quiero más, dan suficientes detalles como para no cuestionar la validez de su trabajo. Puedes utilizarlos como ejemplo para redactar tus resultados.

Gerhard "El ordenador lo dice, QED" Paseman, 2015.07.25