¿Has visto mi matroid?

Question

Deje $M(n,k)$ ser el matroid en el suelo set $\{\pm 1,\ldots,\pm n\}$ para que un conjunto es independiente si y sólo si contiene en la mayoría de las $k$ pares de $\pm i$. Tenga en cuenta que la firma de permutación grupo (el grupo de Coxeter de tipo $B_n$) actúa sobre este matroid. Preguntas:

1. ¿Esta matroid tiene un nombre?
2. Ha sido estudiado antes?
3. Hay una buena fórmula para su polinomio característico?

Aquí están algunas aburrido casos especiales:

• $M(n,n)$ es el operador Booleano matroid en $2n$ elementos.

• $M(n,n-1)$ es el uniforme de matroid de rango $2n-1$ a $2n$ elementos.

• $M(n,0)$ es la suma directa de $n$ copias de los uniformes de matroid de rango 1 en 2 elementos.

El primer caso interesante es $M(3,1)$, que tiene rango 4 y el polinomio característico

$$q^4 - 6q^3 + 15q^2 - 17q + 7$$

Yo también estoy interesado en truncamientos de este matroid. Es decir, que $M(n,k,d)$ ser el matroid en el suelo set $\{\pm 1,\ldots,\pm n\}$ para que un conjunto es independiente si y sólo si contiene en la mayoría de las $k$ pares de $\pm i$ y tiene un tamaño en la mayoría de las $d$. Todos las mismas preguntas aplicar!

Comentario: me gustaría considerar a estos matroids como tipo B análogos de uniforme matroids. Uniforme matroids son la permutación-invariante matroids en el suelo set $\{1,\ldots,n\}$, mientras que estos son los firmados-permutación-invariante matroids en el suelo set $\{\pm 1,\ldots,\pm n\}$.

Answer 1

Se puede usar el teorema de Whitney para mostrar que el polinomio característico es $$ \ sum_ {i = 0} ^ k {n \ choose i} q ^ {ki} (q-2) ^ {ni} + \ sum_ {i = k +1} ^ n {n \ elegir i} (q-2) ^ {ni}. $$ Dudo que esto se pueda simplificar.

Answer 2

Deje que$U$ sea el matroide uniforme de rango$k$ en$n$. Como$U$ es orientable, uno puede considerar el matroide orientado Lawrence$\Lambda(U)$ asociado con cualquier orientación de$U$ (a la construcción Lawrence no le importa qué orientación tome). Entonces$M(n,k)$ es precisamente el matroide no orientado subyacente$\underline{\Lambda(U)}$ de$\Lambda(U)$.

Además, el matroide dual$M^*(n,k)$ es un matroide simpléctico, lo que explica por qué el grupo$B_n$ actúa sobre el primario.