Editar (Oct 12, 2015):
Mi respuesta original contenía un error, como notado por user47958.
Ahora me registro sólo aquellas partes de lo que escribí que
podrían ser relevantes para una futura solución completa.
(Lo que estoy escribiendo aquí NO es una solución completa.)
Yo el fin de topologías para que $\mathcal T\subseteq \mathcal T'$
significa que $\mathcal T'$ es más fino que el de $\mathcal T$.
Dejo $M_n$ denotar el entramado de la altura de tres con $n$ átomos.
Información de fondo:
Si $N$ es cualquier subgrupo normal de un grupo de $G$, entonces el conjunto
$\mathcal T_N$ consta de los subconjuntos de $G$ que son los sindicatos
de cosets de $N$ es un grupo de topología en $G$. El discreto
y indiscreta topologías tienen la forma $\mathcal T_N$ para $N =\{e\}$
o $N=G$ respectivamente. Si $M\neq N$,
a continuación,$\mathcal T_M\neq \mathcal T_N$. Desde
$\mathcal T_M\vee \mathcal T_N = \mathcal T_{M\cap N}$ y
$\mathcal T_M\wedge \mathcal T_N = \mathcal T_{MN}$, el entramado de
normal subgrupos de $G$ es doblemente incrustado en el entramado de
grupo de topologías a través de $N\mapsto \mathcal T_N$.
Para cualquier grupo de topología $\mathcal T$ a $G$ la intersección
de los barrios de la identidad en $\mathcal T$
es un subgrupo normal $N\lhd G$. Cualquier conjunto en $\mathcal T$ es un
la unión de cosets de $N$. La topología $\mathcal T_N$ a partir de
Artículo 1 contiene la topología de inicio $\mathcal T$.
En particular, si $\mathcal T$ es coatom en el entramado de grupo de topologías,
y la intersección $N$ es no trivial, entonces $\mathcal T = \mathcal T_N$.
(Brevemente, no Hausdorff coatoms en el entramado de grupo topologías tienen la forma $\mathcal T_N$ para un subgrupo normal $N$.)
La intersección $N$ desde el Punto 2 es igual a $\{e\}$ fib $\mathcal T$
es $T_0$ (equivalente Hausdorff, equivalentemente, Tychonoff).
Si $G$ es finito, entonces todo el grupo topologías en
$G$ tiene la forma $\mathcal T_N$.
El entramado de grupo topologías es, por tanto, doblemente isomorfo
para el entramado de subgrupos normales de $G$.
Si un grupo de $G$ tiene al menos tres pares de complementarios
normal subgrupos, a continuación, $G$ es finito y, de hecho,
$G\cong \mathbb Z_p\times \mathbb Z_p$
para algunos el primer $p$. En este caso, el subgrupo normal de celosía
de $G$ es $M_{p+1}$.
El problema le pregunta si hay un grupo topológico cuyo entramado
del grupo de las topologías de es $M_5$. Desde $5$ no es un primo más uno,
un grupo no puede ser finito. De hecho, no más de dos de los
(co)de los átomos en la topología de la celosía puede tener la forma $\mathcal T_N$
para $N\lhd G$. Esto significa que (i) $G$ tiene al
la mayoría de los dos adecuada trivial normal subgrupos,
cada uno de los cuales es un átomo y un coatom
en el subgrupo normal de celosía de $G$. Por lo tanto, (ii) en la mayoría de las dos de la
coatoms en el grupo de la topología de la celosía puede ser no-Hausdorff.
Por lo tanto (iii) al menos tres de los átomos
en el entramado de grupo de topologías en $G$
son pares complementarios de Hausdorff topologías.
El punto i) se divide el total problema en estos casos:
Caso I. $G$ es simple y tiene 5 pares complementarios adecuados
no trivial de Hausdorff grupo de topologías.
Caso II. $G$ tiene exactamente un trivial normal y adecuada de los subgrupos $N$,
$G/N$ no tiene no trivial correcta topología del grupo, sino $G$ tiene cuatro
pares complementarios de Hausdorff topologías
que son triviales y adecuada.
Caso III. $G=S\times T$ es un producto de dos simples grupos, donde
ni $S$ ni $T$ tiene cualquier trivial grupo apropiado de la topología,
pero $G$ tiene tres pares complementarios de Hausdorff topologías
que son triviales y adecuada.
He aprendido que no se conoce un grupo que tiene incluso una
par de complementarios adecuados Hausdorff grupo de topologías.
No abelian grupo puede tener complementaria adecuada
Hausdorff grupo de topologías, como se demostró en
Relación entre el conocer y unirse a los operadores
en el entramado de grupo de topologías,
Bradd Clark y Víctor Schneider,
Procedimientos AMS 98(4) (1986) 681-682.
El problema de si puede existir complementarios
adecuado Hausdorff grupo de topologías se plantea como Pregunta 7.1(a) en
Transversales grupo de topologías,
Dikran Dikranjan, Mikhail Tkachenko, Ivan Yaschenko,
Topología y sus Aplicaciones 153 (2005) 786-817.
Aquí es una construcción de un grupo de topología que podría
se procede a derivar propiedades de los grupos en
Los casos I, II o III. Es una generalización de la $\mathcal T_N$
topología.
Deje $H$ ser un subgrupo de $G$. Deje $S_H$ el conjunto de los subgrupos
de $G$ que son finitos intersecciones de los conjugados de $H$.
Los grupos en $S_H$ formar un sistema de barrios de $e$
para un grupo de topología $\mathcal T_H$ a $G$. La topología
$\mathcal T_H$ es trivial si $H$ es adecuada y es
adecuado si $\{e\}\notin S_H$. $\mathcal T_H$ es Hausdorff
si $H$ es el núcleo libre.
Aquí es un ejemplo que da pistas acerca de cómo esta construcción podría ser aplicable
para el problema. Supongamos que $G = A_{\omega}$ es la alternancia de grupo
en $\omega$, $E\subseteq \omega$ es (decir) el conjunto de incluso natural
números, y $H$ es el estabilizador de la $E$. Cada grupo
en $S_H$ es el estabilizador de algún conjunto que es el simétrico
la diferencia de $E$ y un subconjunto finito de $\omega$. Por lo tanto, $\mathcal T_H$
es un trivial adecuada Hausdorff topología del grupo que está ligada a
el conjunto $E$. Puede producir mucho más Hausdorff grupo
topologías en $A_{\omega}$ variando el conjunto de $E$.
Para esta construcción, no puedan producir trivial adecuada Hausdorff grupo de topologías, debe ser que cada vez que $H\leq G$ es adecuado y core-gratis, $\{e\}$ es la intersección de un número finito de conjugados de $H$.
