¿Existe una progresión aritmética arbitrariamente larga cuyos miembros son palíndromos?

Question

Sospecho que no existe por alguna razón simple, pero no pude encontrar nada en él y si lo contrario fuera válido en un sentido más general, entonces eso resolvería esta pregunta .

Answer 1

Un divertido pregunta! Pero la respuesta es no.

Supongamos por contradicción que existe una progresión aritmética $a,a+r,\dots,a+(k-1)r$ de los palíndromos con $k$ lo suficientemente grande.

En primer lugar, el trabajo con cada décimo elemento de la progresión, podemos suponer sin pérdida de generalidad que el espaciado $r$ de la progresión es un múltiplo de $10$. Esto soluciona el último dígito de cada elemento de la progresión de ser constante, y por lo tanto, el primer dígito de cada elemento de la progresión es constante también.

Ahora observar que tres de cuatro números con el mismo primer dígito no puede ser en progresión aritmética, a menos que todos ellos tienen el mismo número de dígitos (debido a la lacunarity de un conjunto de números con un primer dígito). Por lo tanto, todos los elementos en la progresión de tener el mismo número $d$ de los dígitos. Como tienen el mismo primer dígito, esto obliga a $r < 10^{d-1}$.

En particular, se ha $10^i \leq r < 10^{i+1}$ para algunos $i \leq d-4$ (por ejemplo) si $k$ es lo suficientemente grande. Esto implica que el par $(a,a+r)$ o $(a+r,a+2r)$ tiene el mismo $d-i-2$ dígitos (uno puede tener lleva en uno de estos pares, pero no tanto), por lo tanto el mismo apellido $d-i-2$ dígitos, lo que implica que $r$ es un múltiplo de $10^{d-i-2}$. Por lo tanto todos los elementos de la progresión de la $a+jr$ tiene el mismo apellido $d-i-2$ dígitos, por lo tanto el mismo $d-i-2$ dígitos, pero esto contradice el límite inferior $r \geq 10^i$ para $j$ lo suficientemente grande (por decir $j \geq 10^4$).

Uno podría trabajar a través de este argumento con más cuidado y obtener un explícito límite superior en cuanto a la duración de una progresión que uno puede tener (que se parece a algo como $10^8$ o así, sin ser demasiado eficiente). Presumiblemente, esta se puede bajar un poco.

[EDIT: no es presumiblemente un aficionado a prueba de explotar las diferencias muy significativas entre la Arquímedes métrica y el 10-ádico métrica, y, en particular, se establece que estas métricas no son bilipschitz en progresiones aritméticas arbitrariamente largas.]