Voy a través de A. J. Hildebrand las notas de la conferencia en la Introducción a la Teoría Analítica de números. Actualmente estoy atascado en los ejercicios al final del Capítulo 3 (Distribución de los números Primos I - Primaria los Resultados). El enunciado del problema es:
Deje $(a_n)$ ser un nonincreasing secuencia de números positivos. Mostrar que $\sum\limits_p a_p$ converge si y sólo si $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{\log n}$ converge.
La forma en que me estaba tratando de ir sobre la prueba de ello es el uso de la integral de convergencia de la prueba y el Teorema de los números Primos, diciendo que $$\int_1^\infty a(p(x))dx = \int_2^\infty a(t)\pi'(t)dt$$ where $p(x)$ is an interpolated version of the n-th prime sequence, and $\pi(t)$ is the prime counting function. Then by the PNT, we know that $\pi(t) = \frac{t}{\log t} + O\left(\frac{t}{\log^2 t}\right)$. By a leap of logic, I'd hope that $\pi'(t) = \frac{1}{\log t} + o\left(\frac{1}{\log t}\right)$, which would make the last integral equal to $$\int_{2}^{\infty}\frac{a(t)}{\log t} dt + terms\ of\ lower\ order$$ Este sería entonces converge si y sólo si $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{\log n}$ converge. El problema es que la diferenciación de los Grandes-O estimación no parece válido, y yo soy incapaz de conseguir lo suficientemente buenas estimaciones para demostrar esta relación (si es que es cierto).
