¿Cómo se aplica la teoría de integración de Lebesgue?

Question

Esta pregunta me ha intrigado durante mucho tiempo. Puede que sea demasiado vaga para preguntarla aquí. Espero poder acotar bien la pregunta para poder ofrecer algunas ideas.

En muchos libros de texto de cálculo, suele haber un capítulo sobre "aplicaciones" después del de la integral de Riemann. Los estudiantes pueden hacer muchos cálculos y apreciar el poder de la integración de Riemann: resuelven muchos problemas de física y geometría.

Mientras se aprende la integral de Lebesgue, o más generalmente, la integración en un espacio de medida, no puedo apreciar el poder de este tipo de integración hasta que aprenda alguna EDP moderna. Por otro lado, descubrí que hay mucho más desigualdades al hacer la integración de Lebesgue que ecuaciones al aplicar la integral de Riemann. En lugar de calculando algo, la gente hace estimación con los teoremas de convergencia.

Estas son mis preguntas:

• ¿Cómo se aplica la teoría de integración de Lebesgue? Si se ponen los métodos en categorías, ¿puedo decir que se ocupa principalmente de los problemas relacionados con la convergencia ?
• ¿Cuál es la diferencia fundamental entre la aplicación de estas dos técnicas de integración?
• ¿Hay algún ejemplo en el que la gente resuelva algún problema que pueda ser muy difícil (pero aún así se puede resolver) cuando se utiliza la integral de Riemann pero que sea relativamente fácil con la integral de Lebesgue?

Answer 1

En un mundo ideal, la probabilidad de error de tipo I se ajustaría caso por caso, en lugar de fijarse en 0,05 o 0,01 o lo que sea por decreto.

Menos error de tipo I significa más error de tipo II. En muchos campos, los valores por defecto son 0,05 y 0,20 para estos dos errores (es decir, se busca una potencia de 0,8 con p 0,05). ¿Son razonables estas opciones? Depende.

Supongamos que se está probando un medicamento que puede curar una enfermedad rápidamente terminal. Entonces el error de tipo I significaría que las personas con la enfermedad mueren cuando podrían curarse, mientras que el error de tipo II significa que las personas moribundas toman un medicamento que no funciona.

Estaría dispuesto a tener un error de tipo I más alto en tal caso.

Por encima de esto, siempre prefiero mirar los tamaños de los efectos en lugar de los niveles de significación. Lo que a la gente le interesa es el grado de efecto probable de un (tratamiento, fármaco, condición); no si una estadística de prueba tan extrema como la que obtuvimos podría haber surgido fácilmente de una población en la que no hubiera ningún efecto.

Answer 2

He aquí un ejemplo que muestra el poder de la teoría de integración de Lebesgue.

El siguiente teorema es a veces útil en el cálculo (sólo se trata de funciones continuas). Es un caso especial fácil del teorema de convergencia dominado por Lebesgue. Sin embargo, es difícil de demostrar dentro de la teoría de integración de Riemann.

Dejemos que $M$ sea un número real tal que $0 \le M < \infty$ . Sea $(f_n)$ sea una secuencia de funciones continuas sobre un intervalo finito $[a, b]$ tal que $|f_n| \le M$ por cada $n$ . Sea $f(x)$ sea una función continua sobre $[a, b]$ . Supongamos que $\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)$ por cada $x \in [a, b]$ .

Entonces $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$ .

Answer 3

La integral de Riemann depende en gran medida de la estructura de la recta, mientras que el proceso general de integración no lo hace. Debido a la forma en que se construye la integral de Riemann, la continuidad de los integrados es muy importante. Ahora tenemos dos abstracciones "siamesas": la integración y la topología. La integral de Lebesgue es una excelente abstracción que da una estructura mínima en la que hacer la integración. Esto es más limpio y mejor.

Answer 4

La integral de Lebesgue se utiliza para el teorema ergódico de Birkhoff. A partir de estas notas

Dejemos que $(X, \mathcal{B}, \mu)$ sea un espacio de probabilidad y que $T: X \to X$ sea una transformación ergódica que preserva la medida. Sea $f \in L^1 (X, \mathcal{B}, \mu)$ entonces $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (f \circ T^k)(x) = \int f \, d\mu $$ Para $x$ casi en todas partes en $X$ .

Es Lebesgue, no Riemann. Esa convergencia no está garantizada en ningún punto concreto.