"¿Eres más alto que la media de los que son más altos que la media?"

Question

He conocido a gente alta. Es decir: gente más alta que la media. De vez en cuando nos encontramos con realmente gente alta, incluso más alta que la media de la gente alta, es decir, más alta que la media de los que son más altos que la media. Tal vez hayas conocido a alguien que es incluso más alto que la media de los que son más altos que la media de los que son más altos que la media... Y así sucesivamente.

Entonces, toma una cantidad $X$ que suponemos normalmente distribuida (advertencia, no tengo conocimientos profundos de teoría de la probabilidad), es decir, está descrita por una distribución gaussiana que suponemos estandarizada y llamamos $f(x)$ .

Ahora, define:

$M_0:= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$

$\mu_0:=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=0$

y, por inducción,

$M_{n+1}:= \int_{\mu_n}^{\infty}f(x)dx$

$\mu_{n+1}:=\frac{1}{M_n}\int_{\mu_n}^{\infty}xf(x)dx$

Creo que esto describe la situación en la que su $X$ (por ejemplo, la altura) tiene el valor $\mu_n$ precisamente cuando estás como $X$ como la media de los que son más $X$ que la media de los que son más $X$ que...... (n veces). Si no es así, explique por qué.

Así que mis preguntas:

1. ¿Cómo es la secuencia $\mu_n$ ¿se comportan asintóticamente? ¿Converge?
2. En caso afirmativo, ¿existe una expresión agradable para el límite?
3. ¿Existe siquiera una expresión razonablemente explícita ("forma cerrada") para $\mu_n$ en función de $n$ ?

Answer 1

Como en la respuesta de Nate, nos interesa iterar la función $$G(y) := \frac{ \int_{y}^{\infty} x e^{- x^2} dx}{\int_{y}^{\infty} e^{- x^2} }.$$

El numerador es $e^{-y^2}/2$ (elemental). El denominador es $e^{-y^2}/2 \cdot y^{-1} \left( 1-(1/2) y^{-2} + O(y^{-4}) \right)$ (ver Wikipedia ). Así que $G(y) = y + (1/2) y^{-1} + O(y^{-3})$ .

Set $z_n = \mu_n^2$ . Entonces $$z_{n+1} = (\mu_n+\mu_n^{-1}/2 + O(\mu_n^{-3}))^2 = \mu_n^2 + 1 + O(\mu_{n}^{-2}) = z_n + 1 + O(z_n^{-1}).$$ Así que $z_n \approx n$ y vemos que $\mu_n \to \infty$ como $\sqrt{n}$ .

No he comprobado los detalles, pero creo que deberías poder conseguir algo como $\mu_n = n^{1/2} + O(1)$ .

Answer 2

Tenemos $\mu_n \uparrow \infty$ . Prueba: dejemos que $$G(y) = \frac{\int_y^\infty x f(x) dx}{\int_y^\infty f(x) dx}$$ para que $\mu_{n+1} = G(\mu_n)$ . Claramente $G$ es una función continua y $G(y) > y$ para todos $y$ . Pero si $\mu_n \to \mu$ para un número finito de $\mu$ debemos tener $G(\mu) = \mu$ una contradicción.

En términos más generales, esto debería demostrar que si $X$ es un continuo variable aleatoria con supremacía esencial $M$ y definimos $G(y) = E[X | X \ge y]$ pour $y < M$ , entonces los iterados $G^n(y) \to M$ .