Intuición detrás de la dualidad de Alexander

Question

Me preguntaba si alguien podría ofrecer cierta intuición de por qué Alexander dualidad se mantiene. Por supuesto, la prueba es bastante fácil de comprobar, y también es fácil de trabajar muchos ejemplos a mano. Sin embargo, no tengo ningún sentimiento de por qué es cierto.

Para dar un ejemplo de lo que estoy buscando, cuando pienso en la dualidad de Poincaré creo que de la imagen en términos de las triangulaciones y doble triangulaciones. ¿Hay alguna imagen que la de Alejandro de la dualidad? Hay al menos tal vez algún tipo de evidente bilineal de emparejamiento entre los dos lados de ella o algo?

Answer 1

Deje $M$ ser un cerrado orientable $n$-colector que contiene el conjunto compacto $X$. Dado un $n-q-1$-cocyle en $X$ (estoy eligiendo este grado sólo para coincidir con la notación del artículo de Wikipedia a la que se enlaza), la extendemos a algunos de los pequeños abierta de vecindad $U$ de %de$X$. Por Lefschetz--la dualidad de Poincaré en el colector de $U$, podemos convertir esta $n-q-1$-cocylce en un Borel--Moore ciclo (es decir, un localmente finito ciclo se compone de una infinidad de simplices) en $U$ grado $q+1$. Tirar los simplices acostado en $U \setminus X$, obtenemos una costumbre (es decir, finitely compatibles) ciclo de dar una clase en $H_{q+1}(U,U\setminus X) = H_{q+1}(M,M\setminus X)$ (el isomorfismo de retención a través de la escisión). Alexander dualidad para cualquier colector, a continuación, los estados que el mapa de $H^{n-q-1}(X) \to H_{q+1}(M,M \setminus X)$ es un isomorfismo. (Si $X$ es muy patológico, entonces debemos ser cuidadosos en cómo definir el lado izquierdo, para estar seguro de que que cada cochain en realidad se extiende a algunos de vecindad de $X$.)

Ahora si $M = S^{n+1}$,, a continuación, $H^i(S^{n+1})$ es casi siempre de cero, y así podemos utilizar el mapa de límites para el largo de la secuencia exacta de un par de identificar las $H_{q+1}(S^{n+1}, S^{n+1}\setminus X)$ con $H_{q}(S^{n+1}\setminus X)$ modulo de preocuparse de reducción vs habitual homología/cohomology (a lidiar con el hecho de que $H^i(S^{n+1})$ es no-cero en el extremal puntos de $i = 0$ o $n$).

Así que, en resumen: se toma una cocycle en $X$, ampliar ligeramente a un cocyle en $U$, representan un Borel--Moore ciclo de grado apropiado, tirar los simplices situada totalmente fuera de $X$, por lo que ahora es una cadena con el límite de la mentira fuera de $X$, y finalmente tomar este límite, que ahora es un ciclo en $S^{n+1} \setminus X$.

(He encontrado estas notas de Jesper Moller útil en la comprensión de la estructura general de la dualidad de Alexander.)

Una última cosa: nos puede ayudar a pensar en esto en el caso de un círculo incrustado en $S^2$. Debemos espesar el círculo ligeramente a un integrado de la tira. Si tomamos nuestro cohomology de la clase a ser el generador de $H^1(S^1)$, la correspondiente Borel--Moore ciclo es sólo un motor de ray de la tira (es decir, si la tira es $S^1 \times I$ donde $I$ es un abierto intervalo, entonces la Borel-Más del ciclo es sólo $\{\text{point}\} \times I$).

Si cortamos $I$ a un cerrado subinterval $I'$ y, a continuación, tomar su límite, tenemos un par de de puntos, que se puede ver intuitivamente se encuentran uno en cada uno de los componentes el complemento de la $S^1$ en $S^2$.

Más rigurosamente, la dualidad de Alexander mostrará que estos dos puntos de generar la reducción de la $H^0$ del complemento de la $S^1$, y esta es la forma en la dualidad de Alexander demuestra el Jordán de la curva de teorema. Esperemos que el esquema superior suministros cierta intuición geométrica a este argumento.

Answer 2

He leído Alexander dualidad, como diciendo: "Si usted tiene cualquier tipo de rosquilla en una esfera, a continuación, el exterior debe tener las asas o islas que llenar la rosca de los agujeros." La prueba de que Ryan describe coincide exactamente con esa intuición. Si $D \subseteq S^n$ es la rosquilla, luego de comenzar con la secuencia exacta de un par: $$\cdots \to H_{k+1}(S^n) \to H_{k+1}(S^n,D) \to H_k(D) \to H_k(S^n) \to \cdots,$$ y suponer un cierto valor medio de $k$. A continuación, puedes leer este diagrama bastante directamente como $$\cdots \to 0 \to \text{handles of $S^n\setminus D$} \to \text{holes of $D$} \to 0 \to \cdots.$$ Claramente $H_k(D)$ medidas de los agujeros de $D$, y la única pregunta es, ¿por $H_{k+1}(S^n,D)$ pueden ser interpretadas como las manijas orificios de $S^n \setminus D$. Como dice Ryan, si $D$ e $E = \overline{S^n \setminus D}$ son colectores que se encuentran en un límite común, entonces $$H_{k+1}(S^n,D) \cong H_{k+1}(E,\partial E) \cong H^{n-k-1}(E),$$ donde el primer isomorfismo es la escisión y la segunda es la dualidad de Poincaré.

También puede ampliar este de submanifolds de $S^n$ a general de subconjuntos cerrados tomando límites. Por un lado tienen una disminución de la secuencia de conjuntos compactos, y la respuesta es Cech cohomology, por la antigua definición de Cech cohomology directa límite de cohomology grupos. Por otro lado, se tiene un aumento de la secuencia de conjuntos compactos cuya unión está abierta, y la respuesta es homología porque simplemente es — la homología functor desplazamientos con este tipo de directos límite de los espacios.

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En respuesta a un anónimo pregunta sólo ahora, debo mejorar mi respuesta, en parte también por mi propio bien. Es un teorema de Steenrod (ver Spanier 1948 y Steenrod 1936) que Cech cohomology satisface el "axioma de continuidad" en la categoría de compactos de Hausdorff espacios, es decir, converge a sí mismo cuando usted toma un límite inversa de los espacios. Mirando ahora en el registro histórico, veo que no hay evidencia de que el axioma de continuidad fue utilizado alguna vez como una definición de la Cech cohomology; y si no no me lo han llamado "la antigua definición". Spanier explique que usted puede probar con bastante rapidez que el axioma de continuidad, más el de Eilenberg-Steenrod axiomas únicamente determina Cech cohomology compacto Hausdorff espacios. Tal vez si esto se dijo en 1948 y no es parte del estándar de secuencia de comandos ahora, entonces usted podría llamar una antigua caracterización de Cech cohomology. Yo diría que en lugar de que esta estaba pensando en el futuro si o no los libros de texto ahora que lo mencionas.

Para una cosa, Borsuk de la forma de la teoría es una importante generalización de esta interpretación de la Cech cohomology de la teoría. Si expresa un compacto Hausdorff espacio de $X$ como límite inversa de poliedros (que siempre se puede hacer), entonces el homotopy tipo de la inversa del sistema de los poliedros es un invariante topológico, la forma de $X$. En lugar de considerar sólo inversa y directa límites, mantener la inversa del sistema como una categoría de objeto; entonces usted puede tomar todo el homotopy tipo de la inversa del sistema en lugar de sólo mirar a cohomology.

Answer 3

Me gusta pensar de Alexander dualidad en términos de la vinculación de los números de submanifolds (o, en general, k ciclos). Esta es una manera de definir la vinculación que usted está buscando. En general, considere la posibilidad de una $k$ciclo $z$ en el espacio de $X$, y un $(n-k-1)$ciclo $w$ en el complemento, a continuación, $w=\partial v$ en $\mathbb R^n$. Ahora toma el algebraicas intersección de $v$ e $w$. Esto define un emparejamiento bilineal $H_k(X)\otimes H_{n-k-1}(\mathbb R^n\setminus X)\to \mathbb Z$ como se desee.

Answer 4

Sin embargo, otra forma de conseguirlo. Alexander dualidad está estrechamente relacionado con la dualidad de Poincaré: supongamos que podemos escribir $$ S^n = K \cup_A C $$ donde $K$ e $C$ son codimension cero compacto manifold con frontera común $A$ (normalmente, $K$ es regular neigbhorhood de un bien incorporado finito poliedro). Entonces $$ K/a \cong S^n/C $$ o en la homología: $H_{\ast}(K,A) \cong H_{\ast}(S^n,C) \cong H_{\ast-1}(C)$ donde el último isomorfismo tiene al $\ast < n$ con el límite de operador en el largo exacto de la homología de secuencia.

A continuación, Alexander dualidad puede ser visto como este isomorfismo junto con la dualidad de Poincaré isomorfismo $H_\ast(K,A) \cong H^{n-\ast}(K)$.

Otra manera de entender esto es darse cuenta de estos isomorphisms utilizando el compuesto $$ S^n \desbordado{pt}{\a} K/a \desbordado{diagonal}{\longrightarrow} K_+ \wedge K/a \cong K_+ \wedge S^n/C $$ donde pt es el Pontryagin-Thom mapa que se derrumba $C$ a un punto, y la diagonal el mapa es el mapa de cocientes procedentes de la evidente mapa de pares $(K,A) \to (K\times K,K\times A)$. La imagen de la clase fundamental de $S^n$ da lugar a un sesgo de productos que a su vez da la Alexander dualidad isomorfismo.

Answer 5

Por supuesto, Alexander dualidad es de lo más emocionante para arbitrario compacto subespacios $X \subset S^n$, Cech cohomology etc. Pero hay una forma muy directa de combinatoria prueba de subcomplejos $X \subset \partial \Delta^{n+1}$, debido a Blakers y Massey "El homotopy grupos de una tríada II" (Ann. de las Matemáticas. 55, 192-201 (1952), que recuerda a la de Poincaré de la prueba de su dualidad con doble células. Para un complejo simplicial $K$ deje $K'$ denotar la subdivisión baricéntrica, y deje $\sigma^* \subset K'$ denotar el doble de células de un simplex $\sigma \in K$. Definir el suplemento de el subcomplejo $X\subset \partial \Delta^{n+1}$ a ser el subcomplejo $\overline{X} \subset \Sigma^n=(\partial \Delta^{n+1})'$ consta de dos células de $\sigma^* \subset \Sigma^n$ de los simplices $\sigma \in \partial \Delta^{n+1} \backslash X$. La relativa celular complejo de cadena $C^{cell}(\Sigma^n,\bar{X})$ es isomorfo a la $n$-dual ${C^{simp}(X)}^{n-*}$ de la simplicial complejo de cadena $C^{simp}(X)$, la inducción de la Alexander dualidad isomorphisms

$H_* (\Sigma^n,\overline{X}) \cong H^{n-*}(X)$ .

He utilizado este enfoque combinatorio de Alexander dualidad en mi libro "Algebraica L-teoría y topológica de los colectores" (CUP (1992)) para la construcción de una combinatoria de modelo para la generalización de la homología de la teoría algebraica de la cirugía espectro de los coeficientes.