¿Existe alguna caracterización de las funciones continuas$f : \Bbb{R}\longrightarrow \Bbb{R}$ de modo que para cualquier conjunto linealmente independiente$A$ (sobre los racionales)$f(A)$ también sea linealmente independiente?
Respuestas
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Esto puede no ser una respuesta completa a la pregunta, pero es demasiado largo para un comentario.
Dada una función de $f$, la restricción $f \restriction [0,\infty)$ es una función de potencia $\alpha x^\beta$ donde $\alpha \ne 0$ e $\beta \ge 0$, y del mismo modo la restricción $f \restriction (-\infty,0]$ es una función de potencia de $-x$. Vamos a probar esto de la restricción $f \restriction [0,\infty)$ porque el otro caso es similar.
Debido a $\sqrt{2}$ es irracional, por cualquier $x > 0$ el conjunto $\{x,\sqrt{2} x\}$ es linealmente independiente, por lo que el conjunto de $\{f(x),f(\sqrt{2} x)\}$ es linealmente independiente, lo que significa que sus elementos son cero y, o bien
Su cociente $f(\sqrt{2} x)/f(x)$ es irracional, o
Son el mismo elemento: $f(\sqrt{2} x) = f(x)$, por lo que el cociente $f(\sqrt{2} x)/f(x)$ es 1.
En cualquier caso, el cociente $f(\sqrt{2} x)/f(x)$ debe tomar un valor constante en este intervalo de tiempo porque es una función continua de la $x$ cuyo rango está contenida en el totalmente desconectado set $(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cup \{1\}$.
Por lo tanto, la función de $x \mapsto f(2 x)/f(x)$ también debe tomar un valor constante $K$ en el intervalo de $(0,\infty)$, es decir, el cuadrado de la anterior constante.
Observe que para cualquier entero positivo $n$ tenemos $f(2^{1/n}) = K^{1/n}f(1)$, y de hecho, para cualquier número racional positivo $q$ tenemos $f(2^q) = K^q f(1)$. Esto significa que $f$ es un múltiplo de una función de potencia en el conjunto de $\{2^q : q \in \mathbb{Q}\}$. Por continuidad, esto es, en el cierre de este conjunto, es decir, el intervalo de $[0,\infty)$.
Tenga en cuenta que el factor constante $\alpha$ no puede ser cero, y que el exponente $\beta$ debe ser no negativo para $f$ ser continua en cero.
Discusión de casos especiales:
Constante de caso: Si el exponente en el intervalo de $[0,\infty)$ es cero, entonces la función es una constante distinto de cero $\alpha$ en este intervalo. Por lo tanto,$f(0) \ne 0$, lo que significa que en el intervalo de $(-\infty,0]$ el exponente también debe ser cero y la función debe tener el mismo valor constante $\alpha$ por la continuidad. Así que en este caso $f$ es una función constante distinto de cero.
Otro caso es el exponente $\beta$ es igual a$1$, en tanto los intervalos de $(-\infty,0]$ e $[0,\infty)$, por lo que es un modelo lineal por tramos. En este caso, la única restricción en las laderas es que debe ser distinto de cero racional de los múltiplos de cada uno de los otros. No sé si este es el único otro caso.
Dean Hill
Puntos
2006
Trevor Wilson ha reducido las posibilidades a $\alpha x^\beta$ con $\alpha\ne 0$ e $\beta\ge 0$. El siguiente argumento debe reducir las posibilidades a $\beta=0$ o $\beta=1$, modulo un lexema que yo no puedo parecen demostrar. Tal vez algunos otros MO lector puede tapar la brecha.
El lema que necesito es:
Para cualquier $q_1, q_2, q_3\in\mathbb{Q}$, no todos cero, y cualquier positivos $\beta\ne1$, la ecuación de $$q_1+q_2x^\beta+q_3(1+x^{\beta^2})^{1/\beta} = 0$$ ha en la mayoría de los countably muchas soluciones reales.
Este lema implica que para cualquier positivos $\beta\ne1$, existe una constante $c>0$ de manera tal que los tres números $x_1:=1$, $x_2:=c$, y $x_3:=(1+c^{\beta})^{1/\beta}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$. Por otro lado, $\alpha x_1^\beta + \alpha x_2^\beta = \alpha x_3^\beta$, por lo que sus imágenes dentro de la función son linealmente dependientes.
