¿Los grupos finitos que actúan sobre una pelota tienen un punto fijo?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito, actuando a través de homeomorphisms en $B^n$, el cierre de la $n$-dimensiones de la bola. Qué $G$ tiene un punto fijo?

Un punto fijo para $G$ es un punto de $p \in B^n$ donde para todos los $g \in G$ tenemos $g\cdot p = p$. Observe que la respuesta es "sí" si $G$ es cíclica, es decir, por el punto fijo de Brouwer teorema. Observe que la respuesta es "no necesariamente" si $G$ es infinito. Si le ayuda, en mi aplicación tengo de que la acción es un modelo lineal por tramos.

Primero pensé que esto era obvio, entonces busqué en google alrededor, luego he leído acerca de la teoría de Smith, y ahora voy a postear aquí.

Answer 1

La respuesta es no.

Un punto fijo de la acción libre de la finitos grupo $A_5$ en $n$-celular fue construido por Floyd y Richardson en su papel, Una acción de un grupo finito en una n-celda sin puntos estacionarios, Bull. Amer. De matemáticas. Soc. Volumen 65, Número 2 (1959), 73-76.

Para algunos no existencia de resultados, véase en su lugar el papel por Parris grupos Finitos sin punto fijo-de las acciones libres en un disco, Michigan Matemáticas. J. Volumen 20, Número 4 (1974), 349-351.

Answer 2

Bob Oliver clasificó los grupos finitos que actúan sin un punto fijo global en algún disco de dimensiones suficientemente altas. Las condiciones son algo complicadas de establecer. Pero para los grupos abelianos finitos, la conclusión es que dicho grupo actúa sin puntos fijos en algún disco si y solo si tiene tres o más subgrupos de Sylow no cíclicos. Aquí hay un enlace al anuncio original de su resultado.

Answer 3

La respuesta es "sí" (tiene un punto fijo) si la acción es afín, es decir, si se satisface para todos los $g \in G, x,y \in B^n$ y todos los $0 \leq t \leq 1$: $$g(tx+(1-t)y)=tgx+(1-t)gy$$.

En ese caso se puede construir un punto fijo mediante la adopción de un $x \in B^n$ y un promedio de más de su $G$órbita: $$p:=\frac{1}{|G|}\Sigma_{g \in G}\ gx$$ Por la convexidad de $B^n$ el punto de $p$ está de nuevo en $B^n$, y en el affineness de la acción $p$ es de hecho afixed punto. Las acciones lineales son de curso afín, ahora con el modelo lineal por tramos de acción que tiene a ver si usted puede encontrar una órbita que cae en un lineal de la pieza, por ejemplo.

Los grupos que permiten que el anterior tipo de argumento se llama "susceptibles de grupos", como me acabo de enterar de lunes...