¿Cuánto debe saber el matemático promedio sobre fundaciones?

Question

¿Cuánto debe un promedio matemático de no trabajar en un área como la lógica, teoría de conjuntos, o fundaciones saber acerca de los fundamentos de las matemáticas?

El hilo ¿por Qué debemos creer en el axioma de regularidad? sugiere que muchos pueden no saber acerca de la jerarquía acumulativa, que es la intención de la ontología que ZFC describe. (Q1) Pero esto es algo que todos deben saber o no el enfoque ingenuo de la teoría de conjuntos suficiente, incluso para algunos la investigación matemática (no en las áreas mencionadas anteriormente)?

EDIT: me permito añadir otro aspecto. Como Andreas Blass ha explicado que en su respuesta a la MO-pregunta enlazado más arriba, cuando se establece teóricos hablan de "conjuntos", que significa una entidad generada en el siguiente proceso transfinito:

Comenzar con algunos no-conjunto de entidades que llamó átomos ("algunos" podría ser "ninguno" si queremos un mundo en el que consta exclusivamente de conjuntos), entonces todos los juegos de estas, a continuación, todos los conjuntos cuyos elementos son átomos o grupos de átomos, etc. Este "etc.", significa que construir más y más niveles de conjuntos, donde un conjunto en cualquier nivel tiene elementos sólo de los niveles anteriores (y los átomos que constituyen el nivel más bajo). Este proceso iterativo de construcción puede ser continuado transfinitely, a través arbitrariamente larga ordenado de secuencias de niveles.

Ahora, para los fines fundacionales puede ser prudente tomar la "ninguno de los átomos" (puro) versión de la teoría de conjuntos. Pero en la práctica de matemáticas, se está trabajando con diferentes tipos de objetos matemáticos, y muchos de ellos no se establece (incluso si a menudo se codifican como tal). Pero incluso si uno agrega algunos átomos/no-establece – por ejemplo, los números reales –, no se obtendrá un universo que es satisfactorio para la práctica de las matemáticas. Esto es debido a que nociones como "funciones" o "ordenó tuplas" son desde una perspectiva conceptual no se pone; pero no podemos tomarlos como átomos para la jerarquía acumulativa – el conjunto de todas las "funciones" o "pares ordenados" ... conduce a paradojas (Russell). Ahora me pregunto:

(Q2) ¿Qué debe matemáticos no trabajar en un área como la lógica, teoría de conjuntos, o fundaciones entender por "conjunto"?

Tenga en cuenta que también existe la idea estructural de la teoría de conjuntos (véase la nlab), y los sistemas tales como ETCS o SEAR (intentar) resolver estos "problemas de codificación" y eliminar el problema de la "basura teoremas" en material de teorías. Uno puede argumentar que estos estructural conjunto de teorías partido (más que un conjunto de teorías) con la práctica de matemáticas. Pero mi problema personal con ellos es que no tienen claro de la ontología. Así que este enfoque no responde a Q2, creo.

O, (Q3) hacer los matemáticos no funciona en el fundacionales de los sujetos no necesitan tener una imagen en particular en mente de cómo su conjunto teórico universo debe parecerse? Esto sería muy poco satisfactorio para mí, ya que esto implicaría que uno tenía que usar los axiomas que trabajar, pero uno no entiende por qué actúan (o por qué son consistentes). El único argumento que considero que son coherentes sería "uno no ha encontrado una contradicción aún".

Answer 1

La respuesta es esencialmente el mismo como ¿cuánto debe el promedio matemático de saber acerca de la combinatoria? O teoría de grupo? O topología algebraica? O cualquier área amplia de las matemáticas... Es bueno saber que algunos, siempre es útil saber más, pero en realidad sólo se necesita la cantidad que sea relevante para su trabajo. Tal vez una pequeña pero significativa diferencia con fundaciones es que hay una curiosidad natural acerca de ella, igual que yo soy naturalmente curioso sobre la historia y la geografía de donde yo vivo, a pesar de que sólo requieren un mínimo de conocimientos en el día a día de la vida.

Uno no necesita saber a dónde ir cuando más profundo de cuestiones fundamentales de surgir. Así que uno debe mantener un lógico colega como un amigo, por si acaso. Esto implica conocer lo suficiente acerca de los fundamentos y la lógica para participar en la conversación casual y, cuando surge la necesidad, para ser capaz de formular la pregunta correcta y entender la respuesta que obtenga. Esto no es diferente de cualquier otra área de las matemáticas.

Algunos matemáticos pueden tener más que un casual curiosidad acerca de las fundaciones, incluso si trabajan en un área completamente diferente. En ese caso, aprender tanto como el tiempo y la curiosidad de los permisos. Esto es genial, ya que, al igual que otras áreas de las matemáticas, fundaciones necesita interactuar con otras áreas para avanzar.

Así que, ¿qué se necesita para tener una conversación casual con un lógico? Ajustar a gusto personal:

• Algunos comprensión de los lenguajes formales y la base de la interacción entre la sintaxis y la semántica.
• Algunos comprensión de incompletitud y undecidability.
• Algunos comprensión de las paradojas a las que llevaron al estado actual de la teoría de las fundaciones.
• Algunos comprensión de que la lógica y fundamentos que hace interactuar con su disciplina.

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Para abordar las preguntas adicionales con respecto a los conjuntos. Personalmente, yo no creo que sea correcto decir que la noción de conjunto es definido por las fundaciones. Es perfectamente concepto matemático a pesar de que (a veces confusamente) tiene dos distintas e igual de importante sabores.

La principal evidencia de este punto de vista es que la noción de conjunto existía antes de que el Cantor y su uso era común. Aquí está uno de mis favoritos de las definiciones iniciales debido a Bolzano (Paradoxien des Unendlichen, 1847):

Hay totalidades que, si bien contienen las mismas partes de Un, B, C, D,..., sin embargo se presentan como diferentes cuando se ve desde nuestro punto de vista o de la concepción (este tipo de diferencia que llamamos 'esencial'), por ejemplo, una completa y un vidrio roto visto como un recipiente para beber. [...] Un conjunto cuya concepción básica representa la disposición de sus partes una cuestión de indiferencia (y cuyo reordenamiento por lo tanto no cambia nada esencial desde nuestro punto de vista, si sólo que los cambios), llamo a un conjunto.

(Ver este MO pregunta adicional para los primeros acontecimientos de conjuntos de varias formas y formas.)

Lo Bolzano describe es la combinatoria sabor de conjuntos: es un contenedor en el que colocar los objetos de un recipiente que es tan sencillo y básico que no tiene su propia estructura para distraernos de los objetos dentro de él. Hay otro sabor a los conjuntos en los que se utilizan para clasificar los objetos, para poner en conjunto de todos los objetos de la misma clase o bien comparten una característica común. Este uso es muy común y también antes fundacional teorías.

Los matemáticos utilizan los sabores de los conjuntos, a menudo juntos. Para una variedad de razones prácticas, fundamentos de las teorías tienden a centrarse en uno, y formalizar estándar (aunque torpe) formas para dar cabida a los otros.

• Los llamados "material" conjunto de teorías (ZFC, NBG, MK), se centran en la combinatoria sabor de conjuntos. Para dar cabida a la clasificación, estas teorías permiten tantas colecciones de objetos como sea posible, para poner en un conjunto (con poca o ninguna preocupación si esto es motivado, es necesario, ni útil).

• Los llamados "estructural" conjunto de teorías (ETCS, SEAR, muchos tipo de teorías), se centran en la clasificación sabor de conjuntos. Para dar cabida a la combinatoria, estas teorías incluyen una gran cantidad de maquinaria para relacionar conjuntos e identificar objetos similares a través de los límites establecidos (con poca o ninguna preocupación acerca de la naturaleza de los elementos dentro de los juegos).

Estos dos enfoques son viables y ambos tienen ventajas sobre los otros. Sin embargo, es claramente erróneo pensar que el trabajo de los matemáticos tienen que elegir uno sobre el otro, o incluso preocuparse por el hecho de que es difícil de formalizar ambos a la vez. El hecho es que los conjuntos matemáticos en su uso día a día son tan adecuados como los contenedores, ya que son como clasificadores.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta anterior: es difícil decir lo que un promedio matemático "debe" saber. (Me atrevo a conjeturar que no hay tal cosa!)

Cada universidad tiene su propia opinión sobre esto: mira en los programas de posgrado, y el aviso de que los cursos son obligatorios. En algunos países esto es decidido por el estado.

Puedo compartir mi propia experiencia de un "promedio matemático". Como estudiante me tiene un 1-semestre curso de lógica (se requiere), el texto fue E. Mendelson, Introducción a la lógica matemática, pero no cubren la totalidad del libro. (En mi país el plan de estudios fue establecido por el estado y un curso de lógica era necesario). Al mismo tiempo, puedo leer Lyndon, Notas sobre lógica, y me ha gustado mucho este pequeño y muy clara libro. Después de mi primer año, he decidido que voy a hacer algo más, no la lógica, y nunca de leer algo más sobre el tema.