La dualidad de Poincare y la $A_\infty$ estructura en la cohomología

Question

Si $X$ es un espacio topológico, entonces la cohomología racional de $X$ lleva una canónica $A_\infty$ estructura (de hecho $C_\infty$ ) con diferencial $m_1: H^\ast(X) \to H^{\ast+1}(X)$ de la fuga y del producto $m_2: H^\ast(X)\otimes H^\ast(X) \to H^\ast(X)$ coincidiendo con el producto de la copa.

Si $X$ es una variedad cerrada, entonces su álgebra de cohomología satisface la dualidad de Poincare. Esta es una condición que se refiere sólo a la $m_2$ parte de la $A_\infty$ estructura. Hay cosas más generales que las variedades que satisfacen la dualidad racional de Poincare, como las variedades de homología racional. En general, un espacio que satisface la dualidad racional de Poincare se llama \emph {espacio de dualidad racional de Poincare}.

Obviamente, la afirmación de que $X$ es un espacio racional de dualidad de Poincare no impone ninguna restricción adicional al $A_\infty$ estructura más allá de la condición del producto.

Pregunta 1 ¿Se pueden construir, a partir de las multiplicaciones superiores, obstrucciones para que un espacio de dualidad de Poincare racional sea racionalmente equivalente a una variedad de homología racional, o a una variedad topológica o lisa?

He aquí una segunda pregunta, en cierto modo relacionada. La dualidad de Poincare dice que $H^\ast(X)$ es autodual (con un cambio de grado apropiado). Así, los adjuntos de los mapas de multiplicación superior convierten la cohomología en una $A_\infty$ álgebra (con un ajuste adecuado de la calificación).

Pregunta 2 ¿Cómo es que esto $A_\infty$ estructura de álgebra interactúan con el $A_\infty$ ¿estructura algebraica en la cohomología?

Answer 1

Jeff, tus preguntas fueron en cierto modo la motivación de mi tesis. Permíteme decir algunas cosas que probablemente ya sepas antes de intentar responder a tus preguntas.

El $E_\infty$ estructura algebraica en co-cadenas integrales de un espacio topológico $X$ es un invariante de homotopía de $X$ . Si $X$ es nilpotente y de tipo finito, entonces el tipo de cuasi-isomorfismo del álgebra de la co-cadena es un invariante homotópico completo. Este es un teorema de Mandell: http://arxiv.org/abs/math/0311016 .

También es cierto que el $C_\infty$ la multiplicación en las co-cadenas es un invariante completo del tipo de homotopía racional de un espacio simplemente conectado, pero no conozco un lugar donde esto esté escrito explícitamente. El problema es que Quillen y Sullivan escribieron sus artículos antes de que ideas como las álgebras infinitas y la dualidad de Kozul formaran parte de la conciencia general de los topólogos. Sin embargo, Quillen muestra en Rational Homotopy Theory que la álgebra (cocomutativa) sobre cadenas es un invariante completo del tipo de homotopía racional de un espacio simplemente conectado. Se toma algunas molestias para construir una álgebra cocomutativa; hoy en día diríamos que sólo está construyendo un representante particular del tipo de cuasi-isomorfismo de la co-cadena $C_\infty$ que resulta ser estrictamente asociativa.

Ahora, déjame intentar replantear la pregunta 1 de Jeff, que tiene sentido sobre Q o sobre Z. Fija un espacio integral o racional PD simplemente conectado $X$ . Lo sabemos:

1) El álgebra de la cadena $C^*(X)$ , considerada como un álgebra infinita E o C sobre las co-cadenas integrales o racionales, es un invariante completo integral o racional de homotopía dadas las restricciones sobre el grupo fundamental.

2) La clase de homotopía del mapa $\mu_X: X \to BG$ que determina en la fibración normal de Spivak es un invariante de homotopía de $X$ . (En realidad, no sé mucho sobre la versión racional de esta afirmación, pero parece que está expuesta en la tesis de Su enlazada anteriormente).

3) El conjunto de estructuras topológicas (o lisas o PL) de las estructuras de los colectores en el tipo de homotopía de $X$ es de nuevo un invariante de homotopía de $X$ .

Interpreto que la pregunta 1 de Jeff es la siguiente: el álgebra de cochainas conoce toda la información invariante de homotopía sobre $X$ Entonces, ¿cómo vemos la información de (2) y (3) como características del álgebra de la cadena? El problema es que el álgebra de cochainas depende sólo del tipo de homotopía de $X$ como $space$ no como un espacio de dualidad de Poincare. No creo que se pueda ver, por ejemplo, el conjunto de la estructura a partir de sólo las homotopías superiores del producto taza. (Aunque no tengo una prueba formal de que sea imposible).

Si quieres detectar estructuras de colectores, tienes que mirar el mapa de dualidad de Poincare. En mi tesis, explico cómo se puede escribir la obstrucción de la cirugía total de Ranicki -que detecta si el conjunto de estructuras está vacío o no- como una obstrucción a la existencia de la inversa "local" del mapa de dualidad de Poincare. (Esta afirmación es sobre Z. No conozco una versión racional de la obstrucción de la cirugía total de Ranicki, y Ranicki me dijo que tampoco la conoce).

Por lo tanto, según entiendo, las multiplicaciones superiores no son exactamente el lugar adecuado para buscar obstrucciones a las estructuras de los manifiestos; en su lugar hay que buscar en la inversa del mapa de dualidad de Poincare.

Conozco un par de respuestas diferentes a la pregunta 2 de Jeff sobre la relación entre el colagebra y la estructura del álgebra sobre cochains.

1) Existe el siguiente documento de Tradler y Zeinalian: http://arxiv.org/pdf/math/0309455v2 Uno de los resultados de este trabajo es que las cadenas racionales de un espacio PD forman un $A_\infty$ álgebra con un " $\infty$ dualidad". Es de suponer que existe un enunciado dual para las co-cadenas.

2) David Chataur tiene un resultado que para cualquier espacio PD X, el mapa PD determina una equivalencia de las co-cadenas y cadenas de X como $E_\infty-C^*(X)$ módulos. Me envió un boceto de la prueba de esta afirmación, pero no tengo su permiso para difundirlo.

Moralmente, la respuesta debería ser que el mapa PD es una equivalencia de las álgebras de Frobenius del infinito. Desgraciadamente hay muchas definiciones diferentes de álgebra de Frobenius, y hay problemas técnicos con la escritura de las versiones del infinito de algunas de estas estructuras algebraicas. (Las que tienen una unidad y un contador.) Sin embargo, véase este artículo de Scott Wilson: http://arxiv.org/abs/0710.3550

La respuesta ha sido muy larga. Por favor, pregunte si algo no está claro.

Answer 2

Lo que escribió Nathaniel "Esta declaración es más ${\mathbb Z}$ . No conozco una versión racional de la obstrucción de la cirugía total de Ranicki, y Ranicki me dijo que él tampoco". es estrictamente cierto en el sentido de que había olvidado que tenía una interpretación de colectores de la desaparición de la obstrucción de la cirugía total racional en la Proposición 7.7.5 (página 763) de mi libro de 1980 sobre secuencias exactas en la teoría algebraica de la cirugía (referencia 2 más abajo). Así que he editado mi respuesta original en consecuencia

La obstrucción total de la cirugía $s^R(X) \in {\mathbb S}_n(X;R)$ de un $R$ -espacio de dualidad de Poincare eficiente $X$ puede definirse para cualquier anillo $R$ con ${\mathbb Z} \subseteq R \subseteq {\mathbb Q}$ . En la década de 1970, Quinn (y otros) desarrollaron teorías de obstrucción de la cirugía para $R$ -de Poincar'e, pero estas teorías han languidecido tanto por razones teóricas como prácticas (por ejemplo, la falta de ejemplos). La proposición 7.7.5 de 2 da una interpretación múltiple de $s^R(X)=0 \in {\mathbb S}_n(X;R)$ pero no estoy seguro de que sea lo suficientemente geométrico a efectos prácticos.

Si alguien está interesado en leer más sobre la obstrucción de la cirugía total, aquí hay algunos documentos que están disponibles en línea:

1 "La obstrucción total de la cirugía" Documento de 1978

2 "Secuencias exactas en la teoría algebraica de la cirugía" Libro de 1980

3 Libro "Algebraic L-theory and topological manifolds" 1992

4 "La obstrucción de la cirugía total" Conferencia MPIM 2010

Answer 3

Se demostró en el artículo del IHES de los años 70 "Infinitesimal computations in Topology" que sobre Q la dualidad homológica de Poincare es suficiente para que un tipo de homotopía Q simplemente conectado se realice mediante una variedad lisa cerrada simplemente conectada en dimensiones 5,6,7,9.10,11,13,... etc. En dim 8 ,12, 16, etc se dan las condiciones necesarias y suficientes para su realización. Éstas equivalen a la fórmula de firma de Thom Hirzebruch que se mantiene para alguna elección de clase fundamental en la que la forma cuadrática sobre Q es una suma de cuadrados positivos y negativos. Estas afirmaciones implican que la respuesta a la pregunta 1 es: No hay implicaciones en las estructuras del infinito superior implicadas por un representante de una variedad cerrada de un tipo de homotopía racional.

Answer 4

Lo intentaré, aunque está un poco por encima de mis posibilidades, así que trátalo con una pizca de sal...

No estás exactamente equivocado. Creo que donde falla tu experimento mental es que la entropía diferencial no es el caso límite de la entropía. Supongo que por eso se pierde el paralelismo con la complejidad de Kolmogorov.

Digamos que tenemos una variable aleatoria discreta $X$ . Podemos calcular su entropía de Shannon de la siguiente manera, sumando sobre todos sus posibles valores $x_i$ , $$ H(X) = -\sum_i P(X=x_i) \log \big( P(X=x_i) \big). $$

Hasta el momento, es aburrido. Ahora digamos que $X$ es una versión cuantificada de una variable aleatoria continua - digamos que tenemos la función de densidad $p()$ que genera muestras del conjunto de números reales, y lo convertimos en un histograma. Tendremos un histograma lo suficientemente fino como para que la función de densidad sea esencialmente lineal. En ese caso vamos a tener una entropía algo así, $$ H(X) \approx -\sum_{i} p(X=x_i) \delta x \log \big( p(X=x_i) \delta x \big), $$ donde $\delta x$ es la anchura de los bines de nuestro histograma y $x_i$ es el punto medio de cada uno. Tenemos un producto dentro de ese logaritmo - separémoslo y utilicemos la propiedad de las distribuciones de probabilidad que suman a 1 para moverlo fuera de la suma, dándonos $$ H(X) \approx -\log \big( \delta x \big) -\sum_{i} p(X=x_i) \delta x \log \big( p(X=x_i) \big). $$

Si tomamos el límite, dejando $\delta x \rightarrow dx$ y convirtiendo la suma en una integración, nuestra aproximación se convierte en exacta y obtenemos lo siguiente, $$ H(X) = -\log \big( dx \big) -\int_x p(X=x) \log \big( p(X=x) \big)dx. $$

El término de la derecha es la entropía diferencial. Pero mira ese horrible $\log \big( dx \big)$ término. Tenemos que ignorarlo para evitar que todas nuestras respuestas sean NaN. Me temo que significa que la entropía diferencial no es el caso límite de la entropía de Shannon.

Por lo tanto, perdemos algunas propiedades. Sí, el cambio de escala de los datos cambia la entropía diferencial - la entropía diferencial es una especie de medida de lo "estrechamente empaquetado" que está el pdf. Si lo reescalas, esto cambia. Otra propiedad divertida es que puede ser negativa, a diferencia de la entropía de Shannon. $\sigma$ realmente muy pequeño y ver qué pasa. La pérdida de la relación con la complejidad de Kolmogorov creo que es sólo otra víctima.

Afortunadamente no estamos del todo perdidos. Las divergencias de Kullback-Leibler, y por extensión la información mutua, se comportan bastante bien ya que todos los $\delta$ se anulan. Por ejemplo, se puede calcular $$ \int_x p(X=x) \log \Bigg( \frac{p(X=x)}{q(X=x)} \Bigg) dx $$ donde $q(X)$ es alguna distribución de referencia, por ejemplo, una uniforme. Ésta es siempre positiva, y cuando se reescala la variable $X$ cambia tanto $p(X)$ y $q(X)$ por lo que los resultados son mucho menos graves.

Answer 5

Si alguna vez necesitara realizar un producto Hadamard de dos vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$ Aparte de la notación habitual de MATLAB (como se menciona en la primera pregunta enlazada en los comentarios), probablemente utilizaría $\mathrm{diag}(\mathbf a)\cdot\mathbf b$ , donde $\mathrm{diag}(\mathbf a)$ es la matriz diagonal con entradas diagonales $a_k$ .