Deje que$z$ sea un número complejo fijo con$|z|<1$ y considere el conjunto$$X_z := \Big\{\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i z^i \ \Big|\ a_i\in \{-1,1\} \forall i\Big\}.$ $
¿Qué se puede decir sobre el conjunto$M$ de aquellos$|z|\lt 1$ tales que$X_z \subset \mathbb{C}$ conectado?
Hay una relativa iterada de la función del sistema con dos funciones,
$f_0(x) = 1+zx$
$f_1(x) = -1+zx.$
$X_z$ es el único vacío compacto conjunto fijo de este iterada de la función del sistema. A veces se llama una generalizada de dragón conjunto con el parámetro $z$, y en particular de los valores de $z$ puede producir algunos conocidos fractales llamados dragones.
Un resultado relevante en los sistemas de función iterada es que el conjunto fijo $X$ está conectado el fib es arcwise conectado iff la familia de subconjuntos $\{f_i(X)\}$ está conectado, que en este caso significa $f_0(X_z) \cap f_1(X_z)$ es no vacío. (Este documento se refiere a Kigami, el Análisis de los Fractales en el capítulo 1 para el resultado). Así, el conjunto está conectado iff podemos escribir
$$\begin{eqnarray} 1 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i z^i &=& -1 + \sum_{i=1}^\infty a_i' z^i \newline 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i-a_i'}{2} z^i &=& 0 \newline 1 + \sum_{i=1}^{\infty} b_i z^i &=& 0 \end{eqnarray}$$
donde $b_i = (a_i-a_i')/2 \in \{0,1,-1\}$.
En particular, $X_z$ está conectado al $z$ es real con $1/2 \le |z| \lt 1$ e al $z$ es una raíz de un polinomio con coeficientes en $\{-1,0,1\}$. La intersección de la salida de las raíces con el interior del disco es $M$.
Esta imagen muestra el distinto de cero raíces de polinomios de grados hasta el $9$ con coeficientes en $\{-1,0,1\}$ con los círculos de radios $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $1$.
Los cierres de las raíces de polinomios con restricciones de coeficientes han sido estudiados, y que son bastante interesantes. En algunas áreas, no parece ser una Julia-Mandelbrot correspondencia, donde el conjunto de raíces de grado pequeño cerca de un punto similar al conjunto fijo de la iterada de la función en ese punto. Este preprint de Thierry Bousch demuestra algunas propiedades de conectividad del cierre, y que el anillo $\frac{1}{\sqrt{2}} \lt |z| \lt 1$ es de $M$. Así, algunos de los aparentes agujeros en la imagen de arriba de cerca como el grado aumenta, incluyendo aquellos entre los dos círculos, tales como cerca de algunas de las raíces de la unidad. El papel de Calegari et al mencionado por Nikita Sidorovym demuestra que hay muchos agujeros en $M$, entre otros resultados.
En primer lugar, si $z=0$,, a continuación, $X_z=\{0\}$ es obviamente conectado.
Permítanme demostrar que la respuesta es negativa siempre que $0<|z|<1/2$. En este caso, vamos a mostrar que el $X_z$ es un conjunto de Cantor, por lo tanto totalmente desconectado, mostrando que es un bi-Lipschitz la incorporación de la $\{-1,1\}^{\mathbb{N}}$ dotado de la ultrametric $d((a_i),(b_i))=\theta^{\inf\{i,a_i\neq b_i\}}$ donde $\theta=|z|$ (esta es una métrica tan pronto como $z\neq 0$).
Por lo tanto, consideramos el mapa definido por $$ F((a_i))=\sum_{i=1}^\infty a_i z^i;$$ dadas dos secuencias $(a_i)$, $(b_i)$ de $\pm1$, vamos a $i_0=\inf\{i,a_i\neq b_i\}$ y observar que \begin{align*} |F((a_i))-F((b_i))| &= \Big|\sum_{i=i_0}^\infty (a_i-b_i)z^i \Big| \\ &\le \sum_{i=i_0}^\infty |a_i-b_i| \theta^i \\ &\le 2\theta^{i_0}/(1-\theta) \end{align*} que precisamente dice que $F$ es un mapa de Lipschitz. En la otra dirección, hemos \begin{align*} |F((a_i))-F((b_i))| &\ge 2\theta^{i_0}-\Big|\sum_{i=i_0+1}^\infty (a_i-b_i)z^i \Big| \\ &\ge 2\theta^{i_0} - 2\theta^{i_0+1}/(1-\theta) \end{align*} y hemos terminado tan pronto como $1-\theta/(1-\theta)>0$, es decir,$|z|<1/2$.
Al $\theta\ge 1/2$, las cosas parece un poco más complicado. Se observa que el $X_{\frac12}=[-1,1]$, por lo tanto está conectado. (De hecho uno inclusión es claro, el otro es obtenida por la toma de $(a_i)$ la base:$2$ desarrollo de $r\in [0,1]$,, a continuación,$F((a_i))=2r-1$). En general, $X_z$ es un auto-similar con la relación de contracción $|z|$, y usted probablemente puede encontrar mucha información en la literatura sobre estos conjuntos. Su pregunta podría ser difícil en general.
A lo que te refieres se llama locus de conectividad . El artículo importante más reciente sobre el tema es probablemente este documento de Calegari, Koch y Walker.
En particular, muestran que el locus de conectividad contiene infinitos agujeros. El documento también contiene una extensa lista de referencias.
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