¿Pequeños complejos simpliciales con torsión en su homología?

Question

Revisión de un primer $p$. ¿Cuál es el entero más pequeño $n$, de modo que hay un complejo simplicial en $n$ vértices con $p$-torsión en su homología?

Por ejemplo, cuando se $p=2$, hay un complejo con 6 vértices (el mínimo de la triangulación de la real proyectiva del plano) con 2-torsión en su homología. Estoy bastante seguro de que es la más pequeña posible: con 5 o menos vértices, no debe haber ninguna torsión en todo. Al $p=3$, hay un complejo con 9 vértices (una triangulación de la mod 3 Moore espacio, por ejemplo) con 3-torsión. Hay uno con 8 vértices? Con $p=5$, hay un complejo con 11 vértices, que se encuentra por probar aleatoriamente los complejos de este tipo en mi equipo.

Podemos refinar este: fix $p$ y también un entero positivo $d$. ¿Cuál es el más pequeño de $n$, de modo que hay un complejo simplicial $K$ a $n$ vértices con $p$-torsión en $H_d(K)$? O podemos darle la vuelta: fijo $n$, ¿qué tipo de torsión puede haber en un complejo simplicial en $n$ vértices?

(Un documento por Soulé ("formas Perfectas y el Vandiver conjetura"), cita a un resultado por Gabber que conduce a un límite en el tamaño de la torsión para un número fijo $n$ de los vértices; sin embargo, esta obligado está lejos de ser óptimo, al menos para las pequeñas $n$.)

Answer 1

La ACTUALIZACIÓN de Esta versión han mejorado sustancialmente desde el uno publicado a las 8 de la mañana.

Ahora creo que puedo lograr $\mathbb{Z}/p$ uso de $O( \log p)$ vértices. No estoy tratando de optimizar las constantes en este momento.

Deje $B$ ser un complejo simplicial en los vértices $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ y $z_1$, $z_2$, ..., $z_{k-3}$, contiene los bordes $(a,b)$, $(b,c)$, $(c,a)$, $(a',b')$, $(b',c')$ y $(c',a')$ que $H^1(B) \cong \mathbb{Z}$ con generador de $(a,b)+(b,c)+(c,a)$ y la relación

$$2 {\large (} (a,b)+(b,c)+(c,a) {\large )} \equiv (a',b') + (b',c') + (c',a').$$

Creo que puedo hacer esto con $k=6$ tomando damián de la construcción de la con $p=2$ y la adición de tres simplices para hacer el hexágono $(h_1, h_2, \ldots, h_6)$ homóloga a la del triángulo $(h_1, h_3, h_5)$.

Deje $B^n$ ser un complejo simplicial con $3+nk$ vértices $a^i$, $b^i$, $c^i$, con $0 \leq i \leq n$, e $z^i_j$ con $0 \leq i \leq n-1$ e $1 \leq j \leq k-3$. Es decir, construimos $n$ copias de $B$, la $r$-th copia en los vértices $a^r$, $b^r$, $c^r$, $a^{r+1}$, $b^{r+1}$, $c^{r+1}$ y $z^r_1$, $z^r_2$, ..., $z^r_{k-3}$. Deje $\gamma_i$ ser el ciclo de $(a^i,b^i) + (b^i, c^i) + (c^i, a^i)$.

A continuación, $H^1(B^n) = \mathbb{Z}$ con generador de $\gamma_0$ y relaciones $$\gamma_n \equiv 2 \gamma_{n-1} \equiv \cdots \equiv 2^n \gamma_0$$

Deje $p = 2^{n_1} + 2^{n_2} + \cdots + 2^{n_s}$.

Pegamento en una orientada a la superficie de $\Sigma$ con límite de $\gamma_{n_1} \sqcup \gamma_{n_2} \sqcup \cdots \sqcup \gamma_{n_s}$, género $0$, y no interna vértices.

En el espacio resultante, $\sum \gamma_{n_i} \equiv 0$ lo $p \gamma_0 \equiv 0$, y de un tamaño no menor múltiplo de $\gamma_0$ es cero. Tenemos uso de $3 + k \log_2 p$ vértices. Este es el mismo orden de magnitud que Gabber del obligado.

Answer 2

Andrew Newman acaba de publicar un preprint a la arXiv, mostrando que por cada prime $p$ e $d \ge 2$, usted puede conseguir $p$-torsión en la homología $H_{d-1}(K)$ sólo con $O(\log^{1/d} p)$ vértices. (El implícita constante depende de $d$, pero no en $p$.) Este es el mejor posible, hasta que un factor constante.

Su construcción se inicia con algo similar a lo que Speyer se describe anteriormente, que le consigue un complejo con $O( \log p)$ vértices. A continuación, se aplica el método de probabilidades, teniendo un cierto cuidadosamente elegidos al azar cociente del complejo, pegando los vértices de una forma aleatoria. Esto no afecta a la torsión en la homología. El problema es que podría no resultar en un complejo simplicial. Pero Newman utiliza el Lovász local lema para mostrar que con probabilidad positiva, lo hace. Por lo tanto, no existe un vértice de identificación que funciona.

Answer 3

Gil Kalai tiene un hermoso papel de 1983 , donde se muestra que, en promedio, $\mathbb{Q}$-acíclicos $d$-dimensiones simplicial complejos de $S$ con total $(d-1)$-esqueleto en $n$ vértices tienen $$| H_{d-1}(S, \mathbb{Z}) | \ge \exp (c n^d) $$ for some constant $c > 0$ depending only on $d$ and not on $$n.

Estos resultados son para el tamaño total de la torsión del grupo, y no de $p$-torsión específicamente. Pero para $d=2$ por lo menos te da que la torsión del grupo puede crecer exponencialmente en $n^2$, en lugar de en $n$.

Ahora la parte más especulativa. Mi mejor estimación de la estructura de $H_{d-1}(S, \mathbb{Z})$, para una adecuada medida en random $\mathbb{Q}$-acíclicos complejos de $S$, sería Cohen-Lenstra heurística --- la idea de que la probabilidad de que un aleatoria finita abelian grupo es isomorfo a $G$ es proporcional al tamaño de la automorphism grupo de $G$.

Si algo como esto se mantiene, entonces con probabilidad apartó desde cero, $H_{d-1}(S, \mathbb{Z}) $ es cíclico. Si algo como esto es el caso, debemos esperar que exista $2$-dimensiones simplicial complejos en $n$ vértices con $p$-torsión, donde $p$ es de orden $\exp (cn^2)$.

Linial, Meshulam, y Rosenthal recientemente nuevos ejemplos de $\mathbb{Q}$-acíclicos complejos, mediante la definición de los complejos de forma simétrica sobre el conjunto de vértices $\mathbb{Z} / p$ y, a continuación, el análisis de la transformada de Fourier de la homología.

Me hizo experimentar un poco con sus ejemplos en SAGE y encontró un $2$-dimensiones simplicial complejo de $S$ a $31$ vértices con $$| H_1(S, \mathbb{Z}) | = 736712186612810774591.$$

Este es un producto de distintos números primos, por lo que, necesariamente, es un grupo cíclico. (El mayor factor primo es $408437$.)

Answer 4

Puedo construir la lente espacio de $L(p,q)$ con $16p+8$ vértices; esto ha $H_1$ (e $\pi_1$) igual a $\mathbb{Z}/p$.

Vamos a empezar por la construcción de algunas triangulaciones de $S^3$. Tomar dos $2p$-ágonos, con vértices $(x_1, x_2, \ldots, x_{2p})$ e $(y_1, y_2, \ldots, y_{2p})$. Deje $J$ ser su combinación. Esta es una de tres dimensiones trianguladas colector cuyo máximo se enfrenta a se $(x_i, x_{i+1}, y_j, y_{j+1})$ para $1 \leq i,j \leq 2p$ (todos los índices son cíclicos modulo $2p$.) Topológicamente, $J$ es la esfera $S^3$. Deje $B$ ser la primera subdivisión baricéntrica de $J$. $B$ ha $$4p + \left( 4p + 4 p^2 \right) + 8 p^2 + 4 p^2 = 8p + 16 p^2$$ los vértices.

Deje $\mathbb{Z}/p$ actuar en $J$ traduciendo $2$ pasos alrededor de la primera $2p$-gon y $2q$ pasos alrededor de la otra. Esto induce a una acción en $B$, y el cociente $L$ es, por definición, $L(p,q)$. Hay $(8p+16p^2)/p$ vértices en $L$.

Dejo al lector para comprobar que $L$ es un complejo simplicial. (Usted necesita para comprobar que no hay ningún borde que los une un vértice a sí mismo, y que cualquier conjunto de vértices está contenida en más de una cara. Esto no es cierto si se utiliza $p$-ágonos en lugar de $2p$-ágonos, así que ten cuidado!)

Answer 5

Usted podría ser capaz de hacer un poco mejor que con la de David de la construcción, pero todavía con un número de vértices lineal en $p$. Es decir, que presente el grupo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ por un solo generador de $a$ y una sola relación $a^p$. Ahora triangular la CW complejos obtenidos por pegado de un disco a un círculo un $p:1$ mapa a lo largo de la frontera (este es el truco para producir un CW complejo, teniendo como grupo fundamental de cualquier grupo dado en términos de una presentación). Permítanme ser más explícito en la construcción que voy a dar, necesito $3p+4$ vértices, aunque puede ser posible reducir este número por una más inteligente de la subdivisión (uso de triángulos, en lugar de cuadrados, por ejemplo). Deje $a_0,a_1,a_2$ ser los vértices de un triángulo y deje $b_0,\ldots,b_{3p-1}$ ser los vértices de un $3p$-gon. Agregar (triangulaciones) de las plazas $a_i , a_{i+1} , b_{3k+i} , b_{3k+i+1}$ para $0 \leq k \leq p-1$ e $0 \leq i \leq 2$, donde, obviamente, los índices se toman módulo los respectivos números. Esto se consigue con la identificación de los límites de $b_0,\ldots,b_{3p-1}$ a dos de la celda con el círculo fijo $a_0,a_1,a_2$. Ahora necesitamos cono fuera de la frontera de los dos-celular: basta con añadir un nuevo vértice $v$ y todos los triángulos $v,b_i,b_{i+1}$ donde $0 \leq i \leq 3p-1$. Así pues, tenemos un complejo simplicial con $3+3p+1$ vértices cuyo grupo fundamental de la es $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}p$.

Finalmente, uno de los más comentarios sobre la segunda parte de su pregunta. Denotar por $m(p,d)$ el número mínimo de vértices $n$ necesario para construir un complejo simplicial con $n$ vértices y no trivial $p$-torsión en el grado $d$ de homología. Hay una evidente desigualdad: $m(p,d) \leq m(p,d-1)+2$. De esta manera se sigue inmediatamente del hecho de que usted puede suspender a un complejo simplicial mediante la adición de dos vértices; el efecto de la suspensión es que se cambio el (reducido) homología de grupos de seguridad de un solo paso.