Una misteriosa identidad de álgebra de Heisenberg de Sylvester, 1867

Question

Estoy tratando de entender dos papeles por James Joseph Sylvester:

P92: "Nota sobre las propiedades de los operadores que se producen en el cálculo de invariantes, sus derivados, análogos, y las leyes de combinación; con la accesoria de aplicación para el desarrollo en un Maclaurinian serie de cualquier poder del logaritmo de un aumentada variable."

y

P95: "En la multiplicación de operadores diferenciales parciales."

[La numeración a partir del tomo 2 de Sylvester Obras completas. Estos, por cierto, están repartidas en cuatro volúmenes: volumen 1, volumen 2, volumen 3, volumen 4 (las dos primeras cortesía de anónimos libro escáneres), con algunos duplicados en el Archivo de Internet. Todos ellos están fuera de los derechos de autor.]

En la primera página de el P95 (aka la página 11 de la enlaza dos de papel PDF), Sylvester los estados que

"Si $\phi$ ser cualquier función [i. e., un polinomio o de alimentación de la serie en infinidad de desplazamientos variables $x$, $y$, $z$, ..., $\delta_x$, $\delta_y$, $\delta_z$, ... (aquí, $\delta_x$, $\delta_y$, $\delta_z$, ... son sólo símbolos, no los operadores diferenciales!) que es multilineal con respecto a $\left(\delta_x,\delta_y,\delta_z,...\right)$], [tenemos]

$e^{\displaystyle t\phi\star} = \left[e^{\displaystyle \left(e^{\displaystyle t\phi\star}-1\right)\phi}\right]\star$."

Aquí, como tengo entendido, el $\star$ operación se define de la siguiente manera (vea la página 1 de P92, también conocido como la página 1 de los enlaces PDF): Si $\psi$ es cualquier polinomio de energía o de serie en un número infinito de variables $x$, $y$, $z$, ..., $\delta_x$, $\delta_y$, $\delta_z$, ..., a continuación, $\psi\star$ significa que el operador diferencial obtenemos si recopilamos todas las $\delta_x$, $\delta_y$, $\delta_z$, ... variables en el extremo derecho de cada monomio y reemplazarlos por la derivada parcial operadores de $\frac{\delta}{\delta x}$, $\frac{\delta}{\delta y}$, $\frac{\delta}{\delta z}$, .... No puedo decir que estoy seguro acerca de esto, sin embargo, porque no importa cómo lo intente obtener una pequeña, verificable ejemplo de la fórmula, tengo algo de absurdo que sea incorrecta o no soy capaz de comprobar.

Sylvester estudiado en el contexto de la clásica teoría de invariantes, pero hoy en día cuántica de campos teóricos están interesados en estos operadores diferenciales como elementos de Heisenberg álgebra. Hay alguna moderno (legible) la reformulación de la anterior identidad? Ha nadie trató de comprender su significado? Se relaciona con la identidad de $\left(\exp a\right)\left(\exp b\right)\left(\exp a\right)^{-1} = \exp\left(\left(\exp\left(\mathrm{ad} a\right)\right)\left(b\right)\right)$ que se cumple para cualesquiera dos elementos de la $a$ e $b$ de un anillo para que estos exponenciales sentido? (Esto es especulación basada en nada más que la apariencia de las exponenciales en ambas identidades.)

Answer 1

El siguiente ejemplo de su identidad es bien conocido en la física (y es a veces llamado un "operador de esclarecimiento de la" identidad)

$:\exp\left[\left(e^W-1\right)_{ij}a_i^\dagger a_j\right]:\;=\exp\left(W_{ij}a^\dagger_i a_j\right)$

donde $::$ denota normal de ordenar, $a_i$ e $a^\dagger_j$ son canónicos Bose annhilation y la creación de los operadores de satisfacciones $\left[a_i,a^\dagger_j\right]=\delta_{ij}$, y W es una matriz arbitraria (suma implícita).

Para general (en lugar de sólo cuadrática) $\phi$ la fórmula es completamente nuevo (de hecho notable) para mí.

Frustrante, es difícil rastrear los orígenes de la fórmula de arriba. He aquí una discusión reciente que incluye la versión anterior de una sola bosón de modo (Eq. 30):

La combinatoria y el Bosón normal de ordenar: Una introducción suave American Journal of Physics, 75 (7), pp 639 (2007)

Los autores de los comentarios después de la Ecualización. 30 parece implicar que la fórmula no generalizar, simplemente.

EDIT: me di cuenta de que Sylvester inicialmente a los estados la forma cuadrática de arriba, y luego limita su generalización a las funciones de $\phi$ "lineal cuántica en $\delta_x$, $\delta_y$, $\delta_z$,...". Aún así, esta generalización parece contradecir Eq. 31 del artículo anterior.

Answer 2

Gracias, Austen, yo no creo que un caso particular podría ser tan fuerte. (No puedo decir que es inmediatamente un caso particular, aunque. Me tomó algunas transformaciones para obtener el $e^W-1$ plazo.)

Mientras tanto, tengo entendido que la reclamación (y encontró una prueba; más sobre esto más tarde hoy o mañana).

La fórmula que he citado anteriormente es un poco malo, al menos como yo la entiendo. Debe ser $e^{\displaystyle t\phi\star} = \left[e^{\displaystyle \left(\left(e^{\displaystyle t\phi\star}-1\right) / \left(\phi\star\right)\right) \phi}\right]\star$, donde $\left(e^{\displaystyle t\phi\star}-1\right) / \left(\phi\star\right)$ es para ser entendido "formalmente" (como en "plug in $\phi\star$ como $x$ en el poder de la serie de $\left(e^{tx}-1\right)/x$"). Sylvester recibe este derecho en su primer papel (P92) aunque se echa de menos una suposición (la multilinealidad con respecto a la $\delta$ variables) no. Al parecer, la fórmula incorrecta debido a un cierre por$1$ de error.

Permítanme reescribir la fórmula correcta en algunos más moderno notaciones.

Teorema 1 (Sylvester). Deje $K$ ser un anillo conmutativo.

Deje $K\left[a,b,c,...\right]$ ser el anillo de polinomios en los desplazamientos indeterminates $a$, $b$, $c$, ..., y vamos a $K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]$ ser el anillo de polinomios en los desplazamientos indeterminates $\delta_a$, $\delta_b$, $\delta_c$, ... (que, por ahora, no tienen nada que ver con $a$, $b$, $c$, ... excepto ser etiquetados de manera similar). Deje $\mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right)$ ser el anillo de polinomio operadores diferenciales en $K\left[a,b,c,...\right]$. Entonces, podemos definir un $K$-módulo de isomorfismo

$M : K\left[a,b,c,...\right] \otimes K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right] \to \mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right),$

$P \otimes Q \mapsto P \cdot Q\left(\dfrac{\partial}{\partial a},\dfrac{\partial}{\partial b},\dfrac{\partial}{\partial c},...\right)$.

(Sólo $Q$, no $P\cdot Q$, está siendo evaluada en la $\left(\dfrac{\partial}{\partial a},\dfrac{\partial}{\partial b},\dfrac{\partial}{\partial c},...\right)$ aquí).

Deje $\left(K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]\right)_1$ ser $K$-submódulo de $K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]$ atravesado por $\delta_a$, $\delta_b$, $\delta_c$, ... (es decir, el grado-$1$ parte de $K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]$).

El anillo de $\mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right)$ actúa sobre el producto tensor $K\left[a,b,c,...\right] \otimes K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]$ por actuar en la primera tensorand sólo. Denotar esta acción por $\rightharpoonup$. En otras palabras, para cualquier operador diferencial $R\in \mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right)$cualquier $P\in K\left[a,b,c,...\right]$ y cualquier $d\in K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]$, establezca $R\rightharpoonup \left(P\otimes d\right) = R\left(P\right)\otimes d$, y se extiende por la linealidad de la acción $\mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right)$ sobre la totalidad del producto tensor.

Deje $D \in K\left[a,b,c,...\right] \otimes \left(K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]\right)_1$ ser arbitraria. Deje $T$ ser el poder de la serie

$\sum\limits_{i\geq 1} \left(M\left(D\right)\right)^{i-1} \rightharpoonup D \dfrac{t^i}{i!} \in \left(K\left[a,b,c,...\right] \otimes K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]\right)\left[\left[t\right]\right]$.

A continuación, $M\left(\exp T\right) = \exp\left(tM\left(D\right)\right)$, donde $M\left(\exp T\right)$ es la abreviatura de "la imagen de $\exp T$ bajo la canónica mapa de $M : \left(K\left[a,b,c,...\right] \otimes K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]\right)\left[\left[t\right]\right] \to \left(\mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right)\right)\left[\left[t\right]\right]$ inducida por $M$".

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Tenga en cuenta que esto está estrechamente relacionado con el normal de los productos solicitados, pero me parece que la $:...:$ notación normal de los productos ordenados de forma tremendamente restrictiva (ya que las fuerzas de todo entre los dos puntos a ser normal ordenado, pero la prueba del Teorema 1 de las necesidades normales de una ordenó producto con un no-normal de los productos solicitados en el interior). Tal vez esto es porque realmente no entender las sutilezas de esta notación. Yo personalmente sólo tiene que utilizar algunos símbolos diferentes para la propiedad conmutativa de la multiplicación mapa en $\mathrm{Diff}\left(a,b,c,...\right)$ transferido de $\left[a,b,c,...\right] \otimes K\left[\delta_a,\delta_b,\delta_c,...\right]$ por el isomorfismo $M$. ¿Qué acerca de la $\boxdot$?

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Teorema 1 no significa que todo el contenido de los dos artículos que he ligado, y yo daría la bienvenida a cualquier legible de las "traducciones" de los otros resultados. (Voy a probar yo también.)

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Tenga en cuenta que hay dos errores en la segunda ecuación en la página 568 de P92. Dice

$\phi_1\star\phi_1\star\phi_1\star = \left(\phi_1^s + 2 \phi_1\phi_2 + \phi_3\right)\star$.

En primer lugar, la $s$ debe ser un $3$ (esto es probablemente porque quien hizo la djvu establecer el umbral para la identidad de las formas demasiado liberal; el papel original tenía a la derecha); en segundo lugar, la $2$ el coeficiente debe ser un $3$.

Answer 3

Esto puede ser interpretado de manera limpia utilizando la noción de Pre-álgebra de la Mentira.

De hecho, los campos vectoriales en un espacio afín formulario de Pre-álgebra de la Mentira. Para demostrar el deseo de identidad, es suficiente para considerar la posibilidad de la libre Pre-álgebra de la Mentira en un generador.

Esta identidad es conocida por estar relacionada con un pre-Mentira versión de la Baker-Campbell-Hausdorff fórmula. Esto está escrito en varios lugares en la literatura.

Aquí hay un par de referencias:

• Agracev, A. A. y Gamkrelidze, R. V., Cronológico álgebras y no estacionarios campos vectoriales

• Dominique Manchón, Una breve encuesta sobre pre-álgebras de Lie, E. Schrödinger Institut Conferencias en Matemáticas. Phys., Eur. De matemáticas. Soc.

• Pierre Cartier, Vinberg álgebras, la Mentira de los grupos y la combinatoria. (Resumen en inglés) Quanta de las matemáticas, 107-126, Clay de Matemáticas. Proc., 11,

Answer 4

Una fórmula similar a la de Sylvester:

$$exp(t\;g(z) D)=exp[:[<exp(t\;g(z) D)z>-z]\; D:]=exp[:<z^{-1}exp(t\;g(z) D)z-1>\;z D:].$$

Derivación:

En primer lugar, dado un fct. $\omega=h(z)$, su compostional inverso $z=h^{-1}(\omega)$, e $g(z)=\frac{1}{h^\prime(z)},$ luego

$$exp(t\;g(z) \frac{d}{dz})f(z)=exp(t\; \frac{d}{dh(x)})f(x)=exp(t\; \frac{d}{d\omega})f(h^{-1}(\omega))=f(h^{-1}(t+\omega))=f(h^{-1}(t+h(z))).$$

(Esta expresión de la Mentira de derivados se ha estudiado tan temprano como el año de 1857 por Charles Tumbas.)

En particular, con $f(z)=z,$

$$exp(t\;g(z) \frac{d}{dz})z=h^{-1}(t+h(z)).$$

(Tenga en cuenta que con $f(z)=z$, $h(0)=0$, $g(0)=1$ y $t=h(y)$, el operador genera un grupo formal de la ley (FGL), por lo que el operador puede ser utilizado para simplemente explorar las propiedades de la FGL en general. Para una fácil introducción a la FGLs, ver Olver, las Aplicaciones de la Mentira Grupos de Ecuaciones Diferenciales.)

Pero también utilizando el tipo de cambio de operador (generalizada de Taylor-Maclaurin de la serie),

$$exp[:[h^{-1}(t+h(z))-z]\; \frac{d}{dz}:]f(z)=f(h^{-1}(t+h(z))),$$

y, en particular,

$$exp[:[h^{-1}(t+h(z))-z]\; \frac{d}{dz}:]z=h^{-1}(t+h(z)),$$

donde $:ABC:^n=A^nB^nC^n,$ es decir, el poder se distribuye sobre los operadores de mantenimiento de su orden. Esta notación permite más breve y sugerente fórmulas y no debe ser confundido con la normal de pedidos, aunque se puede dar el mismo resultado. En este caso, $:[h^{-1}(t+h(z))-z]\; \frac{d}{dz}:^n=[h^{-1}(t+h(z))-z]^n\frac{d^n}{dz^n}.$

Así que de forma recursiva, el uso de $D=d/dz,$

$$exp(t\;g(z) D)f(z)=f(h^{-1}(t+h(z)))=exp[:[h^{-1}(t+h(z))-z]\; D:]f(z)=exp[:[<exp(t\;g(z) D)z>-z]\; D:]f(z),$$

donde <...> denota la evaluación dentro de los símbolos.

La eliminación de los pasos intermedios, obtenemos una fórmula similar a la de Sylvester:

$$exp(t\;g(z) D)=exp[:[<exp(t\;g(z) D)z>-z]\; D:]=exp[:<z^{-1}exp(t\;g(z) D)z-1>\;z D:].$$

Comprobaciones:

A) Vamos A $g(z)=z$, $h(z)=ln(z)$, $h^{-1}(z)=e^z$.

Entonces

$$z^{-1}h^{-1}(t+h(z))-1=z^{-1}exp(t+ln(z))-1=e^t-1,$$

$$exp(t\;z D)=exp[(e^t -1) :zD:],$$

y

$$exp(t\;z D)f(z)=f((e^t-1)z+z)=f(e^tz).$$

B) Con $g(z)=z^2$, $h(z)=-1/z$, $h^{-1}(z)=-1/z$,

$$z^{-1}h^{-1}(t+h(z))-1=\frac{1}{1-t \cdot z}-1,$$

$$exp(t\;z^2 D)=exp[:[\frac{1}{1-t \cdot z}-1] zD:],$$

y

$$exp(t\;z^2 D)f(z)=f([\frac{1}{1-t \cdot z}-1]z+z)=f[\frac{z}{1-t \cdot z}].$$

Expansión explícito de LHS:

Para la expansión de la LHS de la fórmula en términos de árboles de raíces, ver referencias en OEIS A139605.

Explícitamente para el tercer fin de plazo con $g^j_i=[D^i g(z)]^j$,

$$(g(z)D)^3=(g^1_0 g^2_1+g^2_0g^1_2)D+3g^2_0g^1_1 D^2+g^3_0D^3.$$