Mayorización y polinomios de Schur

Question

Permítanme en primer lugar definir la majorization orden (o de la dominación de la orden) en particiones $\lambda \succeq \mu$ fib $$\sum _{i=1}^{k}\lambda_i \geq \sum_{i=1}^{k}\mu_i$$ for all $1\le k\le l-1$ and $$\lambda_1+\cdots+\lambda_l=\mu_1+\cdots+\mu_l.$$

Mientras jugueteaban con alguna variación en Muirhead, la desigualdad que dice que $$m_{\lambda}(x_1,x_2,\dots,x_n)\geq m_{\mu}(x_1,x_2,\dots,x_n)$$ for all $x_i\geq 0$ when $\lambda \succeq \mu$ (here the $m_{\lambda}$'s son el monomio simétrica polinomios) me terminó de investigar si dicha desigualdad se cumple para Schur polinomios, que son otra de las famosas base del anillo de la simétrica funciones. He intentado un par de casos especiales, y el siguiente parece sostener, pero no tengo una prueba o un contraejemplo. Así que la pregunta es:

Deje $x_1,\dots,x_n \geq 0$ e $\lambda\succeq \mu$, es siempre cierto que $$\frac{s _{\lambda}(x _1,x _2,\dots,x _n)}{s _{\lambda}(1,1,\dots,1)}\geq \frac{s _{\mu}(x _1,x _2,\dots,x _n)}{s _{\mu}(1,1,\dots,1)}?$$

Si no, ¿ majorization inducir a algunos del mismo modo agradable orden en los valores de Schur polinomios?

Answer 1

Esta cuestión aparece como una conjetura (conjetura de 7.4 en la sección de "preguntas Abiertas"), en un reciente documento de Cuttler, Greene y Skandera.

Answer 2

Esto fue recientemente probado por Suvrit Sra, en arXiv . (Asegúrese de leer la versión 3.)

Answer 3

Esto también fue demostrado posteriormente por Rachid Ait-Haddou y Marie-Laurence Mazure en 2018 en FOCM . También hay una variante en una preimpresión de Apoorva Khare y Terence Tao (ver la última versión) con "mayorización" reemplazada por "mayorización débil" y "todos$x_i \geq 0$" reemplazados por "todos$x_i \geq 1$".