¿Cuántas funciones de Morse polinómicas en la esfera?

Question

Dejemos que $f$ sea un polinomio homogéneo de grado $d$ sur $n$ variables. Restringido a la esfera unitaria $S^{n-1}$ podría o no ser una función Morse.

Si $f$ es una función Morse de grado $1$ se obtiene la función Morse favorita de todos en la esfera, con dos puntos críticos, correspondientes a la mínima descomposición CW.

Si $f$ es una función Morse de grado $2$ se obtiene la segunda función Morse favorita de todos, correspondiente a la mínima descomposición regular de CW con dos puntos, dos líneas, dos caras, etc.

Si $f$ tiene grado $d\geq 3$ Hay muchas más posibilidades. ¿Cuántas?

El espacio de grado $d$ polinomios homogéneos en $n$ las variables se pueden identificar con $\mathbb R^N$ donde $N={\left( \begin{array}{c}n+d-1 \\ n-1\end{array}\right)}$ . Las que son funciones Morse forman un subconjunto abierto.

Aproximadamente cuántas componentes conectadas tiene este subconjunto abierto para grandes $d$ y/o $n$ ?

Answer 1

Llevo varios años intentando responder a esta pregunta y ha resultado ser realmente difícil, incluso para los $2$ -Esfera. A continuación, hablaré de este caso.

En primer lugar hay que preguntarse cuál es el número $m(k)$ de tipos topológicos de funciones de Morse (estables) en $S^2$ con precisión $k$ puntos de sillín. (tal función tiene $2k+2$ puntos críticos). He demostrado que la serie generadora

$$ x(t) := \sum_{k\geq 0} \frac{m(k)}{(2k+1)!} t^{2k+1}, $$

es la inversa de una integral elíptica; véase este documento . Más concretamente $x(t)$ es la inversa de la función

$$ x\mapsto t(x)=\int_0^x \frac{ds}{\sqrt{s^4/4-s^2-2sx+1}} ds. $$

Este hecho conduce a una respuesta positiva a un pregunta de V.I. Arnold que conjeturó que
$$\log m(k)\sim 2k\log k $$

como $k\to \infty $ . Le remito a este documento para más detalles. Esto demuestra que $m(k)$ crece bastante rápido ya que $k\to \infty$ .

Cualquier polinomio $P$ de grado $d$ sur $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ en $\bR^n$ puede descomponerse de forma única como una suma

$$ P= \sum_{0\leq j+2k\leq d} r^{2k} H_{j}, \;\; r^2= (x_1^2+\cdots +x_n^2), $$

donde $H_{j}$ es un polinomio darmónico de grado $j$ . En $\bR^3$ el espacio de grado $d$ polinomios hormonales tiene dimensión $2d+1$ . Si denotamos por $U_d$ el subespacio de $C^\infty(S^2)$ consistente en las restricciones a $S^2$ de los polinomios de grado $\leq d$ deducimos que

$$\dim U_d=\sum_{0\leq k\leq d} (2k+1)=(d+1)^2. $$

Denota por $K_d$ el número esperado de puntos críticos de una función aleatoria en $U_d$ . He demostrado que

$$ K_d\sim C\dim U_d\sim Cd^2 $$

como $d\to \infty$ donde $C$ es una determinada constante explícita; véase este documento y este documento .

Resulta que el número de puntos críticos de una función aleatoria en $U_d$ está muy concentrada en torno a su media $K_d$ es decir, la probabilidad de que el número de puntos críticos de una función aleatoria en $U_d$ está lejos de la media $K_d$ es extremadamente pequeño ya que $d\to\infty$ . En términos técnicos más precisos, la varianza del número (aleatorio) de puntos críticos de una función (aleatoria) en $U_d$ tiene el mismo tamaño que $K_d$ , lo que hace que la desviación estándar del tamaño $\sqrt{K_d}$ mucho, mucho más pequeño que $K_d$ para $d$ grande.

Personalmente creo, basándome en algunas pruebas empíricas, que la media está cerca del número máximo de puntos críticos en el sentido de que si denotamos por $\mu_d$ el número máximo de puntos críticos de una función Morse en $U_d$ entonces $\mu_d \sim C'' d^2$ como $d\to\infty$ .

Mi opinión es que el número de tipos topológicos de funciones en $U_d$ como $d\to \infty$ es aproximadamente

$$ \sum_{k=1}^{K_d/2} m(k), $$

donde recuerdo que $m(k)$ denota el número de tipos topológicos de funciones Morse con $k$ puntos de montura, es decir, $2k+2$ puntos críticos.