Si la conexión de un compacto $K \subset C$ está conectado localmente, a continuación, el mapa de Riemann
$h\colon C \setminus \Delta \to C \setminus K$ se extiende continuamente a $\partial \Delta$. Para cada una de las $z \in \partial K$, el límite del casco convexo de $h^{-1}(\{z\})$ es la unión de un conjunto $\Lambda_z$ de los acordes; la unión de estos $\Lambda_z$ sobre todo $z \in \partial K$ es un conjunto cerrado $\Lambda_K$ de los distintos acordes; se denomina laminación de $\Delta$. Se puede reconstruir el convexa de los cascos de cada una de las $h^{-1}(\{z\})$ de $\Lambda_K$, y cuando nos colapso cada convex hull a un punto, se obtiene un modelo topológico para $K$.
En el caso de que $K$ es el conjunto de Mandelbrot $M$, la laminación $\Lambda_M$ puede ser descrito de forma combinatoria, así MLC significaría que sabemos que la topología de $M$.
Hay una segunda respuesta, que es más sutil y más importante. Para cada una de las $c \in M$, la llena de Julia $K_c$ de % de $z \mapsto z^2 + c$ es compacto y conectado; si está conectado localmente a la resultante de la laminación de la $\Lambda_c \equiv \Lambda_{K_c}$ es, en el sentido correcto, invariante bajo $z \mapsto z^2$ a $\partial \Delta$. Incluso si $K_c$ no está conectado localmente, hay una manera de definir cuál es la laminación iba a ser si $K_c$ estaban conectados localmente. Cada invariante de laminación aparece como $\Lambda_c$ para algunos c, y MLC es equivalente a la afirmación de que hay una única $c$ con un dado de laminación. Pensamos en $\Lambda_c$ como describir la combinatoria de $K_c$, y pensamos que de esta singularidad conjetura como "combinatoria rigidez"---dos mapas de la forma $z \mapsto z^2 + c$ son conformemente conjugado (y, por tanto, en igualdad de condiciones, si son "combinatoria equivalente".
(En realidad, si $z \mapsto z^2 + c$ tiene una atracción periódico ciclo, entonces el conjunto de combinatoria equivalente parámetros de forma un subconjunto abierto de $C$, por lo que la instrucción de la combinatoria rigidez debe ser modificadas en ese caso. Se sabe que la estabilidad estructural es abierto y denso en la familia de los mapas de $z \mapsto z^2 + c$, por lo que combinatoria rigidez implica que todos los $z \mapsto z^2 + c$ en este abierto y denso conjunto debe tener una atracción periódico ciclo; esta es la implicación de que Eremenko que se alude en su respuesta. )
En este sentido MLC es muy similar a Thurston Final de la Laminación de la Conjetura (probado por Brock, Canarias, y Minsky), que dice, a grandes rasgos, que una finitely generado grupo Kleiniano está determinada por la topología de su cociente y el final laminaciones de sus extremos, que son también, cuando se ve de forma adecuada, invariante laminaciones del disco.
Hay una tercera respuesta, que es más histórico y empírico. Podemos probar MLC y la combinatoria rigidez "pointwise" (o "laminationwise") demostrando que para un determinado invariante de laminación $\Lambda$, aparece como la laminación $\Lambda_c$ por una sola $c$. Esto ha hecho que en muchos casos, por primera vez por Jean-Christophe Yoccoz, y luego por Mikhail Lyubich, el autor de este post, Ginadi Levin, y Mitsuhira Shishikura. Para probar esta combinatoria de rigidez para un determinado $c$ parece requerir un conocimiento detallado de la geometría de la asociada a la dinámica del sistema, y esto casi siempre conduce a resultados más. Así que probar MLC más probable es que significa tener un conocimiento profundo de la geometría y la dinámica de cada mapa $z \mapsto z^2 + c$.
