¿Pueden los pactos cerrados en un grupo topológico comportarse "paradójicamente" con respecto a uniones, intersecciones y traducciones unilaterales?

Question

Considere la posibilidad de dos cerrados pactos $A$ e $B$ en un grupo topológico $\Gamma$. Deje $A'$ se una a la izquierda de la traducción de $A$ e $B'$ a la izquierda de la traducción de $B$:

• $A' = aA$,
• $B' = bB$.

Supongamos que se sabe que $A'\cup B'$ está contenida en una traducción de $A\cup B$, e $A'\cap B'$ está contenida en una traducción de $A\cap B$:

• $A'\cup B'\subset t_1(A\cup B)$,
• $A'\cap B'\subset t_2(A\cap B)$.

Es siempre cierto en este caso que $A'\cup B' = t_1(A\cup B)$ e $A'\cap B' = t_2(A\cap B)$?

No puedo demostrar que incluso en los supuestos adicionales que $\Gamma = \mathbb R$ e $A\cap B$ se compone de un solo elemento.

Me han hecho esta pregunta en las Matemáticas.StackExchange primera, pero parece lo suficientemente duro para ser publicado en MO (en una forma ligeramente diferente).

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Fácil casos

El caso de $A\cap B = \varnothing$ es bastante fácil (con un uso mínimo de las cubiertas por la izquierda se traduce de un determinado conjunto abierto).

De los casos al $A\subset B$ o $A'\subset B'$ también son fáciles y se puede deducir del hecho de que si $A'\subset A$,, a continuación, $A' = A$ (este es el caso de $B = \varnothing$).

Answer 1

Esto no es una respuesta a Muranov del problema. A continuación presento algunos resultados parciales que puede ser interesante o útil para los investigadores que tratan de atacar este problema en el futuro. Las pruebas de las siguientes afirmaciones pueden ser encontrados en este trabajo.

Teorema 1. Deje $A,B$ ser compacto de subgrupos de un grupo topológico $G$ tal que $aA\cup bB\subset A\cup B$ e $aA\cap bB\subset c(A\cap B)$ para algunos de los elementos $a,b,c\in G$. Las igualdades $aA\cup bB=A\cup B$ e $aA\cap bB=c(A\cap B)$ si el subgrupo $H_3$ generado por el conjunto de $\{a,b,c\}$ es discreta o para algunos de $T\subset \{a,b,c\}$ con $\{a,b\}\subset T$, $\{a,c\}\subset T$ o $\{b,c\}\subset T$ el subgrupo $H_2$ generado por $T$ es discreto y cerrado en $G$ e $H_2$ es normal en $H_3$.

Este Teorema implica

Corolario 1. Deje $A,B$ ser compacto de subgrupos de un grupo topológico $G$ tal que $aA\cup bB\subset A\cup B$ e $aA\cap bB=\emptyset$ para algunos de los elementos $a,b\in G$. Las igualdades $aA\cup bB=A\cup B$ e $A\cap B=\emptyset$ si el subgrupo $H_2$ generado por el conjunto de $\{a,b\}$ es discreta o por algún conjunto no vacío $T\subset\{a,b\}$ el subgrupo $H_1$ generado por $T$ es discreto y cerrado en $G$ e $H_1$ es normal en $H_2$.

Estos resultados (y el problema original de Muranov) motivar a las siguientes definiciones.

Definición. Un grupo topológico $G$ se llama

• Muranov si por cualquier compacto subconjuntos $A,B\subset G$ y puntos de $a,b,c\in G$ las inclusiones $aA\cup bB\subset A\cup B$ e $aA\cap bB\subset c(A\cap B)$ implica la igualdades $aA\cup bB=A\cup B$ e $aA\cap bB=c(A\cap B)$;
• débilmente Muranov si por cualquier compacto subconjuntos $A,B\subset G$ y puntos de $a,b\in G$ con $aA\cup bB\subset A\cup B$ e $aA\cap bB=\emptyset$ obtenemos las igualdades $aA\cup bB=A\cup B$ e $A\cap B=\emptyset$.

Teorema 1 y el Corolario 1 implica

Corolario 2. Un (abelian) grupo topológico $G$ es

• Muranov si cada 3-generado (resp. 2-generado) subgrupo de $G$ es discreto;
• débilmente Muranov si cada 2-generado (resp. 1-generado) subgrupo de $G$ es discreto.

Corolario 3. Para cada $n\in\mathbb N$ el grupo topológico $\mathbb Q^n$ es Muranov y $\mathbb R^n$ es débilmente Muranov.

Corolario 4. Cada localmente finito topológico grupo es Muranov.

Sin embargo, el problema original de Muranov sigue abierto:

Problema. Es la línea real $\mathbb R$ Muranov? Es el círculo de $\mathbb R/\mathbb Z$ débilmente Muranov?