Esta pregunta tiene una parte general y un lugar concreto.
General:
Cuando uno quiere probar algo en topología algebraica (en realidad en todas las partes de las matemáticas), obviamente, necesita algunas buenas ideas, pero primero uno tiene que tener un buen conjunto de herramientas a la mano. Libros de introducción en topología algebraica proporcionar una serie de herramientas tales como el largo exacto de secuencias para nombrar sólo uno. Si se sigue trabajando en este campo, y alcanza el nivel de investigación más y más herramientas sólo se tratan como "conocimiento común". Se utilizan en los trabajos de acuerdo a la situación actual y, a menudo, a la izquierda sin comillas.
Con el tiempo uno se reúne un montón de esas herramientas, pero yo por mi parte todavía muchos de ellos como cajas negras. Cuando yo los uso siempre tengo la sensación de caminar sobre hielo muy delgada. Más avanzado que los libros tienen algunas de esas herramientas esparcidas en su cuerpo y encontrar uno en particular es a menudo más difícil de lo que debería ser. No se utilizan para construir una cierta teoría y, a menudo, no se revelan como herramientas útiles con las aplicaciones más allá de el tema de el libro respectivo. Por otra parte una cosa es encontrar la referencia de una declaración en la que uno sabe más o menos cierto, pero dándose cuenta de que la herramienta se tienen que usar cuando uno no sabe de la declaración precisa es una historia diferente.
Así que la primera pregunta:
Hay buenos libros que ofrecen una caja de herramientas que se utilizan en la moderna topología algebraica? Tal vez algo así como "EN el trabajo matemático".
Deberían venir con una prueba, pero no necesariamente con las aplicaciones (por la razón anterior).
Especial:
El de arriba es muy impreciso y hay tantas formas de interpretar la pregunta. Por lo tanto un ejemplo de una declaración de hecho, quiero saber, que también podría dar una pista de lo que estoy buscando.
Segunda pregunta: ¿Cuál es la situación exacta donde puedo encontrar una prueba de
Dada una propiedad conmutativa de la plaza de fibrations (cofibrations). Luego de las fibras (cofibers) en la dirección horizontal se homotopy equivalentes si y sólo si las fibras (cofibers) en la dirección vertical son homotopy equivalente.
La plaza es entonces cartesiano, cocartesian, bicartesian?
Edit 1: Ahora que lo pienso se parece a la segunda pregunta es sólo una aplicación de la serpiente lema. Tengo que trabajar en los detalles. Todavía esta declaración puede presentarse como un ejemplo de lo que estoy buscando.
Edit 2: Un libro que parece ir en la dirección de lo que yo describo podría ser Goerss/Jardine: simplicial homotopy teoría.
