origen de secuencias espectrales en topología algebraica

Question

Tengo la siguiente manera vaga pregunta. No estoy seguro de si es apropiado para este foro, por favor siéntase libre de cerrar (o migrar a stackexchange).

Se me ha "criado" como una expresión algebraica aparejador. Espectral de las secuencias son obviamente ubiqutous y útiles en este tema. La conclusión que he extraído de mi exposición a la espectral secuencias hay que expresar cómo se puede calcular normal (no derivados) invariantes de "objetos derivados". Una forma alternativa de decir esto que cada vez que usted tiene espectral de la secuencia debe identificar como un grothendieck espectral de la secuencia (que realmente están haciendo un derivado de una composición), o un hyper(co)homoloy espectral de la secuencia (que legítimamente quieren saber ordinario invariantes de los objetos derivados).

Ahora he comenzado a estudiar (clásica) estable homotopy teoría, y no parece ser un desconcertante conjunto de espectral de las secuencias. No puedo explicar alguno de ellos en los términos de la anterior, pero muchos de ellos "se sienten como que están cerca de los de arriba escriba".

Permítanme darles algunos ejemplos. Considerar el espectro de la secuencia de un homotopy límite:

$\lim^* \pi_* E_\bullet \Rightarrow \pi_* \operatorname{holim} E_\bullet$

(Estoy escribiendo $*$ para todos los índices para evitar entrar en detalles). Si usted pretender que hay un buen functor $D\pi: SH \to DAb$ teniendo un espectro a una cadena de complejos con homología de grupos de la homotopy grupos del espectro ($h_* D\pi = \pi_*$) y que conmuta con homotopy límites, entonces los de arriba "es sólo el hyperhomology espectral de la secuencia". Lamentablemente estoy bastante seguro de que $D\pi$ no puede existir.

Si mantenemos el pretexto para un poco, podríamos intentar decir $Map(E, F) = RHom(D\pi E, D\pi F)$ (esto es realmente tonto ahora, desde $D\pi$ es totalmente fiel y esencialmente surjective), y luego el de Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia también se convierte en "sólo un hyperhomology espectral de la secuencia".

Parece que del mismo modo imaginable que el de Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia es una encarnación de la Leray-Serre espectral de la secuencia (por la inclusión $i: * \to X$), aunque estoy menos seguro de cómo incluso poner esto en símbolos.

Podría seguir; por soñando $D\pi$ (o gadget) tiene diversos (eventualmente contradictorias) muchas propiedades espectrales de las secuencias puede ser "interpretado" de esta manera. Pero lo suficiente woffling.

Ahora mi pregunta real.

Hay una manera en que sentido puede ser de estas ideas? Por ejemplo, sustituyendo $DAb$ por una más complicado abelian categoría? Alternativamente, existe una mejor organización de principio para espectral de las secuencias en la topología algebraica?

Notas

Si X es un topológico abelian grupo (espectro), a continuación, $D\pi X = N_\bullet Sing(X)$ (normalizada de la cadena compleja de la singular simplicial abelian grupo de X) tiene algunas de las propiedades soñado anteriormente. Dado que el espectro de las secuencias se aplican a topológico abelian grupos y sus mapas, y en este caso reducir a la hyperhomology espectral secuencias he mostrado, esto tal vez explica por qué la topologists' espectral de las secuencias se sientan familiarizados.

Gracias, Tom

Answer 1

Estoy muy sorprendido de que nadie ha mencionado aún Massey hermoso teoría general de la exacta parejas. Esto a mi mente las respuestas versión alternativa de la pregunta, y lo hace sin restricción a la topología algebraica. Filtraciones dar lugar a la exacta parejas, pero perfectamente puede venir bien a partir de datos que no tiene nada que ver con cualquier filtración de nada. Un hermoso, importante, y asombrosamente ejemplo elemental es el Bockstein espectral de la secuencia de una cadena compleja, que nos dice cómo obtenga $p$-información local de mod $p$ de homología. Es el único ejemplo que se me sé de una secuencia espectral que es individualmente gradual, y su mera existencia se ilustra por qué no se debe pensar únicamente en términos de filtraciones. Exacto las parejas son mucho más elementales y mucho menos ligada a un contexto que la mayoría de los puntos de partida para el estudio de la espectral de las secuencias.

Answer 2

A mí me parece que todo lo escrito hasta ahora está abordando el título, no el cuerpo de la cuestión, centrándose en particular en la inestable. Parte de eso es que la gente pidiendo a sus propias preguntas. Pero creo que lo mejor es comenzar con las preguntas más fáciles. De hecho, Tom, que han señalado el lugar perfecto para empezar: Sí, el de Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia es un hypercohomology espectral de la secuencia.

Por supuesto, necesitamos una generalización o abstracción de la hypercohomology espectral de la secuencia para hacer sentido de que. Seguramente, usted sabe que cuando usted se mueve de álgebra homológica estable homotopy teoría, usted debe generalizar a partir de categorías derivadas de abelian categorías a la abstracción de categorías trianguladas.* Pero hay otra abstracción que usted debe saber acerca de, que de t-estructuras.

Como dice Dylan, espectral secuencias provienen de filtraciones.** Pero, ¿de dónde filtraciones vienen? Una fuente está tomando un complejo de cadena y el filtrado por grado. El subquotients revelar exactamente el original de la cadena complejo, mientras que preferimos algo que dependía sólo de la cuasi-isomorfismo de clase. (Aunque a menudo esto es suficiente porque, a pesar de su $E_1$ página no es canónica, el resto de la secuencia.) Los pasos de esta filtración se llama el "ingenuo truncamientos." Tienen la propiedad de que su homología está de acuerdo con el original en bajos grados, es cero en los altos grados, y no es canónica en un solo grado. Con una pequeña modificación, esto puede ser cambiado en el buen truncamiento, que no tiene tal grado intermedio, sino que va directamente de estar de acuerdo en desacuerdo.

Aquí es una versión de la hypercohomology espectral de la secuencia, creo que bastante cerca de la manera que usted lo vea. Empezar con un derecho-derivable functor $F\colon A\to B$ entre abelian categorías y la meta de la comprensión de sus derivados functor en los complejos de la cadena $RF\colon DA\to DB$. Empezar con un complejo de $C\in DA$, tome su buena filtración, por lo que su subquotients se $H^iC[i]$, los cambios de los objetos de $A$, y se aplican $RF$ para obtener una cadena complejo hecho de $R^jF(H^iC)$. Luego, cuando se vuelva a montar el $C$ de la $H^iC$, el espectro de la secuencia de monta $RF(C)$ de $RF(H^iC)$.

Permítanos resumen de lo que este argumento requerido: no se que $DA$ fue el derivado de la categoría de un abelian categoría, sino simplemente que cada objeto tenía una filtración cuya subquotients vivido en los cambios de una abelian categoría, llamado el corazón; y que era más fácil de entender el functor restringido a esta abelian categoría. La primera condición, que no menciona el functor, se llama a un t-estructura.

En última instancia, el punto es que la estable homotopy categoría tiene un t-estructura cuyo corazón es la categoría de abelian grupos, pero exótico t-estructuras abundan y el concepto fue introducido en la geometría algebraica. El ejemplo lo más fácil es dado por la dualidad: La derivada de la categoría de perfecto complejos de la cadena de abelian grupos (es decir, limitada complejos de finitely libres generados por el abelian grupos) es equivalente a la de su contrario en virtud de la contravariante de la dualidad functor $\mathrm{Hom}(-,\mathbb Z)$. Por lo tanto, podemos transportar a la t de la estructura a través de la dualidad para obtener un nuevo t-estructura en la categoría anterior. El casco antiguo es la categoría de finitely generado abelian grupos (que se encuentra en el grado cero). El nuevo corazón es equivalente a la de enfrente de el viejo corazón. Se compone de objetos que son la suma de un libre abelian grupo en el grado cero y una torsión de grupo desplazado por $1$.

La filtración de la t-estructura en el establo homotopy categoría se llama la Postnikov de filtración. Los objetos de su corazón se llama la Eilenberg-MacLane espectros; sus asociados cohomology teorías son habituales cohomology. Por lo tanto, si nuestro functor de interés es cohomology de un espacio fijo $X$ con coeficientes de las variables espectro de $E$, su restricción al corazón es ordinario cohomology, bien entendido punto de partida, y así la hypercohomology espectral de la secuencia es $H^i(X;E^j)\Rightarrow E^{i+j}(X)$, de la misma forma que la de Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia. (Puede que tenga que hacer algún trabajo para comprobar que es el que en realidad el mismo espectral de la secuencia.)

* Probablemente lo que tengo que decir se puede hacer para trabajar bajo Verdier del axiomas para los nidos de las categorías, pero realmente me refiero estable $\infty$-categorías. O usted podría trabajar con la dirección general de categorías, hasta que desea mover a estable homotopy teoría.

** El Bockstein espectral de la secuencia es puramente algebraica espectral de la secuencia que no sé cómo ver como proveniente de una filtración, a pesar de que tengo un vago recuerdo de otro espectral de la secuencia que viene de una filtración y lleva la misma información.

Answer 3

Yo no soy lo suficientemente cómodo con espectral de secuencias para responder a esta pregunta, pero permítanme responder a una versión más fácil de esta pregunta con espectral secuencias sustituido por el largo exacto de las secuencias.

En la geometría algebraica creo que todo el tiempo exacto secuencias tendrá que venir de derivar algún functor entre abelian categorías. En topología algebraica, por otro lado, un ejemplo muy importante de una larga secuencia exacta es el largo de la secuencia exacta de un fibration, que debe venir de la "deriva functor de $\pi_0$" pero no puede ser obtenido a partir de la costumbre abelian categoría de historia porque, en general, implica nonabelian grupos.

Hay dos maneras de ir de aquí (que yo sepa). Una de ellas es ampliar su noción de derivada functor incluir nonabelian ejemplos. Yo no soy lo suficientemente cómodo con esta historia para explicar en detalle, y en particular no he comprobado que los detalles, pero la idea básica es la de sustituir resoluciones que implican (co)los complejos de la cadena con resoluciones que implican (co)simplicial objetos (el Dold-Kan correspondencia indica que el último se reduce a la antigua en un abelian categoría, lo cual es evidencia de que es una buena idea).

Pero hay una más directamente topológica de la historia: el largo de la secuencia exacta de un fibration refleja una más fundamental de la estructura subyacente, es decir la de la fibra de secuencias. Comience con la punta de su mapa continuo $f : E \to B$ entre señaló espacios. A continuación, podemos construir la homotopy fibra $F$ de este mapa, que (al menos después de fibrant de reemplazo) da un fibration

$$F \to E \to B$$

de la punta de los espacios. Ahora lo curioso acerca de la toma de homotopy fibras es que el homotopy fibra de homotopy de fibra, a diferencia de decir que el núcleo de un núcleo, es en general no trivial: si aprovechamos la homotopy de fibra de $F \to E$, nos encontramos en un estándar lema sobre homotopy pullbacks (que tiene la misma forma que la correspondiente lema sobre ordinario pullbacks) que este es el mismo que el homotopy de la fibra de la inclusión $\bullet \to B$ del punto de base en $B$. Pero esta es precisamente la base de bucle espacio de $\Omega B$! Seguir homotopy fibras de esta manera, obtenemos una secuencia de fibrations

$$\dots \to \Omega^2 F \to \Omega^2 E \to \Omega^2 B \to \Omega F \to \Omega E \to \Omega B \to F \to E \to B$$

y la aplicación de $\pi_0$ a esta secuencia le da el largo de la secuencia exacta de homotopy grupos, utilizando el hecho de que la asignación de espacios se comporta bien con respecto a homotopy límites. (Hay una doble historia acerca de cómo obtener una larga exacta de secuencias homología y cohomology de cofiber secuencias que implica repetidamente la suspensión en lugar de tomar el bucle de espacios.)

Este es, en cierto sentido, la nonabelian versión de la larga secuencia exacta asociada a una corta secuencia exacta de los complejos de la cadena, y se puede ejecutar en cualquier lugar donde usted suficientemente bien educados noción de homotopy límite.

(Para obtener a partir de aquí, dicen, el espectral de la secuencia de un homotopy límite me han dicho que la idea es empezar por la definición de una adecuada filtración de la homotopy límite. Después de fibrant sustitución esto le da una torre de fibrations, y creo que la necesidad de unir el largo exacto de las secuencias de estos fibrations de alguna manera debe dar el espectro de la secuencia. Estoy seguro de que un experto puede decir más aquí, sin embargo. Este debe ser el nonabelian versión de la secuencia espectral asociada a una filtración de un complejo de cadena.)

Answer 4

Aquí es cómo me veo en la situación después de pensar acerca de las respuestas. Voy a decir las cosas en el lenguaje de las categorías trianguladas y homotopy de límites un tanto imprecisa. Supongo que algunas liebres diría que esto es realmente acerca de $(\infty,1)$-categorías; por desgracia, no sé lo suficiente acerca de estos gadgets.

Estamos en la siguiente situación: tenemos categorías trianguladas $D_1$ e $D_2$ junto con un triángulo functor $\alpha: D_1 \to D_2$ (aditivo, la preservación de distinguidos triángulos, etc). Nos gustaría "explicar" o "describir" el efecto de la $\alpha$ sobre los objetos. Es evidente que esto requiere en primer lugar una manera de describir los objetos en el primer lugar.

La forma más convencional que se me ocurre es usar homológica functors $\pi_i: D_i \to A_i$ en abelian categorías (es decir, functors de inflexión distinguido triángulos en el largo exacto de secuencias). Voy a escribir $\pi_{i*}X$ para el graduado de objeto $\pi_i(\Sigma^*X),$ donde $\Sigma$ es el cambio functor. Idealmente, nos gustaría tener una manera de computar $\pi_{2*} \alpha X$ en términos de $\pi_{1*}X$ y tal vez algunos datos adicionales. Es una especie de claro que esto no funciona en todos los casos, debido a $\pi_1$ puede tirar cantidades arbitrarias de la información.

Así que necesitamos una más "interna" manera de describir los objetos. Una forma de hacerlo es mediante filtraciones. Es decir, podemos asociar a $X$ una secuencia $\dots \to X_{k-1} \to X_k \to X_{k+1} \to \dots$ tal que $X = \operatorname{holim} X_\bullet$ o $X = \operatorname{hocolim} X_\bullet.$ Para que esto sea útil necesitamos el "subquotients" $\operatorname{cone}(X_k \to X_{k+1})$ a ser "bonito", por ejemplo, vivir en una subcategoría entendemos bien.

El "interno" y "externo" enfoque no son ajenos; por ejemplo, un t-estructura en $D_1$ tiene como corazón un abelian subcategoría, cada objeto adquiere una filtración y una "cofiltration" (creo), y la "subquotients" vivir en la abelian subcategoría, de hecho nos da un compatibles $\pi_1.$

Por tanto, la estrategia para describir a $\alpha(X)$ ahora es este:

1. Encontrar la (co)filtración $X_\bullet$ y se relacionan $\alpha(\operatorname{ho(co)lim}X_\bullet)$ a $\operatorname{ho(co)lim}\alpha(X_\bullet).$

2. Relacionar la subquotients de $X_\bullet$ a la subquotients de $\alpha X_\bullet.$

3. Relacionar la subquotients de $\alpha X_\bullet$ a $\pi_2\operatorname{ho(co)lim} \alpha(X_\bullet).$

Paso uno funciona si $\alpha$ viajes con filtrado homotopy límites o colimits (luego tomar la filtración o cofiltration según corresponda). No sé buenas condiciones para ello, pero parece ser común. Sin duda (?) homotopy (co)límites conmuta con homotopy (co)de los límites, de modo que podemos obtener la secuencia espectral de un homotopy (co)límite en este idioma. También la asignación de espacios conmutar de forma adecuada, de modo que podemos obtener el AH-SS.

El paso dos es realmente la entrada a todo este juego. Tenga en cuenta que $\alpha$ desplazamientos finitos homotopy (co)de los límites (es decir, los conos), así que esto es razonable.

El paso tres es el espectro de la secuencia de un filtrado homotopy tipo. Siempre hay una secuencia espectral, pero puede o no puede converger a los grupos de la homotopy (co)límite (dependiendo de la exactitud propiedades de homotopy (co)límites en $A_2$).

Creo que muchos espectral de las secuencias puede ser analizado de esta manera (sin duda Grothendieck, AH, homotopy límite/colimit; probablemente también Adams).

Para ampliar Ben Wieland el ejemplo de la AH-SS, en este caso $D_1 = D_2 = SH,$ $\pi_1 = \pi_2 = \pi$ es estable homotopy grupos, correspondientes a los naturales de la t de la estructura, con el corazón abelian grupos, $X$ fijo es un espectro, $\alpha(E) = Map(X, E).$ Entonces $\alpha$ envía homotopy límites a homotopy límites, por lo que debemos utilizar la filtración correspondiente a $\pi,$ escrito $E$ como el homotopy límite de su Postnikov de filtración. El subquotients son Eilenberg-Maclane espectros correspondientes a la homotopy grupos de $E,$, por lo que obtenemos una secuencia espectral

$$ E_2^{*,*} = \pi_*\alpha(\text{subquotients of }E_*) = \pi_* Map(X, H\pi_*E) = H^*(X, \pi_*E) \Rightarrow \pi_*\alpha(E) = H^*(X, E)$$

que es lo que queríamos.