Dejemos que $C_N$ denotan la configuración etiquetada de $N^{th}$ raíces de la unidad con $p_J = e^{\frac{2\pi iJ}{N}}$ para $J = 1\ldots N$ .
Como corolario de otra cosa con la que estaba jugando, recientemente demostré lo siguiente:
Teorema: Todo nudo (o enlace) domesticado $K$ tiene una presentación de palos (no necesariamente mínima) que tal que los palos pueden ser proyectados sobre el conjunto de acordes de algún $C_N$ con la siguiente condición de cruce: Siempre que la proyección tenga acordes $p_{J_1}p_{J_3}$ y $p_{J_2}p_{J_4}$ tal que $1\leq J_1 < J_2 < J_3 < J_4\leq N$ entonces $p_{J_1}p_{J_3}$ cruza delante de $p_{J_2}p_{J_4}$ . (En otras palabras, para dos cuerdas que se cruzan en la proyección, la cuerda que tiene el punto final más bajo pasa por delante de la otra cuerda).
Para esta cuestión es importante el hecho de que el teorema conduce a una invariante del nudo que, a falta de un nombre mejor, llamaré el número de palo circular de $K$ y que se define como el mínimo $N$ necesario para obtener una proyección de $K$ con las propiedades mencionadas.
Mi demostración del teorema anterior era muy poco constructiva, así que quería ver algunas realizaciones concretas de tales proyecciones. Y después de un poco de trabajo, pude encontrar que para el nudo trébol de la izquierda, el número de palo circular es 7. Después de jugar mucho más en $C_7$ y al no encontrar una proyección del trébol derecho, pasé a $C_8$ donde pude encontrar una proyección del trébol derecho.
Pregunta principal: ¿Este invariante distingue realmente las quiralidades del trébol, o puede alguien encontrar una proyección del trébol derecho con las propiedades anteriores sobre $C_7$ ? Si no distingue las quiralidades en este caso, ¿es posible que distinga las quiralidades de algún otro par de nudos, o alguien ve una forma astuta de ver que no puede distinguir las quiralidades?
Pregunta secundaria: (Principalmente para los teóricos de los nudos, o cualquier persona con un conocimiento más profundo de los nudos que yo) ¿Se ha estudiado esta invariante antes, y si es así, cuál es la terminología utilizada para ello?
Estoy bastante seguro de que la respuesta general a la pregunta principal está fuertemente relacionada con la caracterización (y en particular la disyunción) de los conjuntos de menores prohibidos de los dos conjuntos siguientes (que casi con toda seguridad no se conocen en general, ya que el teorema de Robertson-Seymour no es constructivo):
$\bullet$ Gráficos que son $L$ -sin incrustaciones para un nudo quiral dado $L$
$\bullet$ Gráficos que son $L^+$ -sin duda y $L^-$ -sin incrustaciones para un nudo quiral dado $L$ con quiralidades $L^+$ y $L^-$
Nótese que los gráficos del segundo conjunto pueden admitir incrustaciones en $\mathbb{R}^3$ que contiene $L^+$ o $L^-$ pero tienen al menos una incrustación que no contiene ambos $L^+$ y $L^-$ . Sin embargo, todavía no he podido desarrollar una prueba con este enfoque.
Para los que no quieran buscar las soluciones que encontré, para el trébol de la izquierda los puntos de $C_7$ se conectan en el siguiente orden:
$p_1 \rightarrow p_3 \rightarrow p_5 \rightarrow p_7 \rightarrow p_2 \rightarrow p_4 \rightarrow p_6 \rightarrow p_1$
Para el trébol derecho los puntos de $C_8$ se conectan en el siguiente orden:
$p_1 \rightarrow p_3 \rightarrow p_7 \rightarrow p_5 \rightarrow p_2 \rightarrow p_8 \rightarrow p_4 \rightarrow p_6 \rightarrow p_1$
EDITAR: Aquí están las fotos de estas dos proyecciones para ayudar a aclarar la situación:
https://docs.google.com/open?id=0B5BVGcL23IkoSTlNNGZKZnZtT1E
Con respecto a la pregunta de Dylan sobre cómo surgió esta proyección, estaba considerando la curva paramétrica $S(t) = (t,t^2,t^3) \subset \mathbb{R}^3$ . En un comentario o respuesta en un post pasado de MO que por amor a mí no puedo encontrar ahora, alguien había demostrado de manera muy sencilla que no hay dos acordes de $S$ se cruzan en cualquier lugar de $\mathbb{R}^3$ (a menos que compartan un punto final). Así, para cada $n$ , $K_n$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}^3$ como el conjunto de cuerdas que conectan los puntos $(1...n)$ . Ahora para un nudo o enlace fijo y manso $K$ el teorema de Robertson-Seymour implica que existe un conjunto finito de menores prohibidos para los grafos que son $K$ -sin incrustaciones. Por lo tanto, toda incrustación de $K_n$ para $n$ suficientemente grande contiene $K$ Así que uno puede preguntarse (como hice yo) "¿qué $n$ es suficiente para un determinado $K$ y en qué orden debo conectar los puntos $(1...n)$ para realizar $K$ ?" La condición de cruce proviene de mirar las cuerdas proyectadas en el $yz$ -plano visto desde el $-x$ dirección (que creo que es la dirección desde la que hice mis cálculos de cruce). Por último, he movido el $yz$ -proyecciones de la integral $t$ -Los puntos valorados se colocan en el círculo de la unidad para que las imágenes sean más fáciles y claras.
ACTUALIZACIÓN: Estaba hojeando un artículo sobre algunos resultados sobre nudos que no estaban relacionados con este. Ese artículo hacía referencia al número de Ramsey $r(L)$ de un enlace $L$ y al seguir sus referencias encontré este documento que demuestra la existencia de $r(L)$ utilizando esencialmente la representación que expuse anteriormente:
http://www.ams.org/journals/tran/1991-324-02/S0002-9947-1991-1069741-9/S0002-9947-1991-1069741-9.pdf
Así que parece que la respuesta a la pregunta 2 es que esto se conoce (al menos en un documento) como representación de la parcela (para mi sorpresa, Negami deduce la existencia de tales representaciones utilizando esencialmente el argumento que di anteriormente). Así que parece que esto resuelve por completo este hilo...
