¿Cómo verifica Tate su propia conjetura para la hipersuperficie de Fermat?

Question

Esta pregunta es acerca de la Tate 1963 papel "Algebraica de los Ciclos y los Polos de Zeta Funciones". Aquí se anuncia una conjetura (ahora conocido como "el Tate conjetura") que establece que ciertas clases en la cohomology de una variedad proyectiva siempre se explica por la existencia de ciclos algebraicos. En el caso de una variedad $X/\mathbf{F}_q$ de la dimensión de $n$, la hipótesis predice que el subespacio de clases en $H^{2d}(X\otimes\overline{\mathbf{F}}_q,\mathbf{Q}_\ell)(d)$ cuales son Frobenius-invariante es atravesado por la imagen del espacio algebraico de los ciclos en $X$ de codimension $d$.

Como un ejemplo, la Tate da la proyectiva hipersuperficie $X$ definido por $$ X_0^{q+1}+\dots X_r^{q+1} =0,$$ where $r=2i+1$ is odd. Here $X$ admits a large group of automorphisms $U$, namely those projective transformations in the $X_i$ which are unitary with respect to the semilinear form $\sum_i X_iY_i^q$. Using the Lefschetz theorem, it isn't at all hard to compute $H^{2}(X)$ as a $U$-module: it decomposes as a trivial $U$-module and an irreducible $U$-module of dimension $q(q^r+1)/(q+1)$. And then when you attempt to compute the $q^2$-power Frobenius eigenvalues on the middle cohomology, you find (once again by Lefschetz) that each one is a Gauss sum which in this case is nothing but $\am p$. (If there is enough demand, I can supply all these calculations here.) Thus, miraculously, all classes in $H^{2}(X\otimes\overline{\mathbf{F}}_q,\mathbf{Q}_\ell)(i)$ son fijados por algún poder de Frobenius.

Mi pregunta es: ¿Cómo Tate confirmar la existencia de la necesaria ciclos? Seguramente el hyperplane sección de codimension $i$ tierras en la parte de $H^{2i}$ que ha trivial $U$-acción (por $U$ se traduce hyperplanes a otros hyperplanes, y todos estos cohomologically equivalente). Con el fin de verificar Tate conjetura, todo lo que necesitas hacer es producir un ciclo en $X$ cuya proyección en la gran $U$-irreductible parte de $H^{2i}$ es distinto de cero. ¿Cómo Tate producir este ciclo? Hizo levantar de característica cero y la apelación a la conjetura de Hodge, o qué?

Answer 1

No sé cómo Tate hizo pero aquí es una de ellas. Deje $\zeta$ ser tal que $\zeta^{q+1}=-1$ y poner $a_j=(0\colon\cdots\colon1\colon\zeta:\cdots\colon0)$, $j=0,\ldots,i$ con $1$ en coordinar $2j$. A continuación, el lineal span $L$ de estos puntos está contenida en el Fermat hypersurfaces y le da una subvariedad de dimensión media. Puedo reclamar que su clase no es un múltiplo de la $i+1$'st energía de la hyperplane sección. En efecto, transformar $L$ por el automorphism permuting las dos primeras coordenadas para obtener $L'$. Entonces (suponiendo que $q$ es extraño decir) $L$ y $L'$ son distintos por lo que el$[L]\cdot [L']=0$, pero si la clase de $L$ sería un múltiplo de la lineal subespacio sección que esto no puede ser. Por lo tanto, $[L]$ proyectos no trivialmente a la no-trivial irreductible de la representación.

Tenga en cuenta que Shioda et al han estudiado los ciclos en general Fermat hypersurfaces y verificada la Tate conjetura en muchos (todos?) de los casos.

Adenda: es difícil conseguir que las dimensiones y el material correcto así que permítanme ampliar sobre esto en el caso sencillo al $i=1$ e $q=2$ (este es un ejemplo clásico que aparecen por ejemplo en las páginas 176-177 de Mumford: la Geometría Algebraica me Complejas variedades proyectivas, todo lo que funciona en el carácter diferente de $3$). Entonces tenemos la línea de $(a\colon a\zeta\colon b\colon b\zeta)$ y por dejar que el monomal automorfismos de la superficie acto de obtener toda $27$ líneas en el Fermat cúbicos. Por supuesto, es verdad que la línea es la intersección de las cúbicos y un subespacio lineal, pero la intersección es no adecuada para la clase de $L$ no es una potencia de la hiper plano de sección.

Nota de paso que en los comentarios (p. 180) Mumford puntos de la especial naturaleza de la característica $2$ para este ejemplo esencialmente diciendo que hay un índice $2$ subgrupo de la automorphism grupo de la Néron-Severi celosía de la preservación de la canónica de la clase puede ser realizada por los automorfismos de la superficie.