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¿Cuál es la intuición de que los grupos de homotopía superiores no desaparecen?

Los grupos de homotopía de las esferas $S^n$ (véase Wikipedia ) desaparecen para el círculo $S^1$ ya que, ingenuamente hablando, no existen agujeros de orden superior que puedan ser captados por grupos homotópicos de orden superior. Esta intuición ya se rompe para las dos esferas $S^2$ por ejemplo $\pi_3(S^2)$ no es trivial debido a la Fibración de Hopf . Esta no-trivialidad parece mantenerse para todas las esferas superiores $S^n$ . ¿Qué hace que $S^1$ tan fundamentalmente diferentes?

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La operación "espacio de cobertura universal" es simultáneamente muy geométrica y preserva todos los grupos de homotopía excepto $\pi_1$ . Esto envía de forma transparente $S^1$ al espacio contractible $\Bbb R$ . Existen análogos para grupos de homotopía superiores, pero las operaciones de "truncamiento de Whitehead" ya no son tan geométricas; no hay forma real de ver visualmente cuáles son los truncamientos de Whitehead de esferas superiores y, de hecho, no son contractibles.

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Creo que es una combinación de dos hechos: (1) tomar la cubierta universal es "geométrico". En concreto, si $X$ es un $d$ -también lo es su cubierta universal. (2) No hay muchas variedades simplemente conectadas de una dimensión. Nótese que tomar coberturas Whitehead más altas no preserva el hecho de ser un múltiple (y de hecho tiende a enviar objetos finito-dimensionales a objetos infinito-dimensionales, en cierto sentido).

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No estoy seguro de a qué te refieres con "esta no trivialidad parece no desaparecer"; por ejemplo, el grupo de homotopía pi_10 S^6 (en el rango estable) desaparece. Sin embargo, hay infinitos grupos de homotopía no triviales de S^n para n>1. Esto es consecuencia de un resultado conocido como el teorema de McGibbon-Neisendorfer, que afirma que si X es un complejo finito simplemente conectado que no es p-localmente trivial, entonces pi_n X tiene p-torsión para infinitos n. Desde este punto de vista, el hecho de que S^1 no esté simplemente conectado es una raíz del problema.

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Randy Proctor Puntos 2331

Hasta ahora la discusión se ha centrado sobre todo en una explicación geométrica, pero me gustaría mencionar también la algebraica:

Una forma de formularlo es con la maquinaria del delooping: hasta el delooping, $\mathbb{S}^n$ corresponde al grupo libre como $E_n$ -sobre un generador.


Pequeño recordatorio: la maquinaria habitual de delooping dice que la construcción de bucle/delooping induce una equivalencia entre espacios puntiagudos $X$ tal que $\pi_k X =0$ para todos $k<n$ y grupo como $E_n$ -algberas. A través de esa correspondencia $\mathbb{S}^n$ corresponde al grupo libre como $E_n$ -en un generador, ya que la función de bucle/desbucle sólo desplaza el $\pi_n$ se puede describir el grupo homotópico de la esfera como grupo homotópico desplazado de estos grupos libres como $E_n$ -álgebra. Una forma más explícita de decir todo esto es que el grupo libre como $E_n$ -álgebra es $\Omega^n \mathbb{S}^n$ .


Ahora, cuando construyas el $E_1$ -álgebra, no hay mucho que puedas hacer: sólo tienes una forma de multiplicar elementos y la libre $E_1$ -sobre un generador es simplemente el monoide $\mathbb{N}$ (y $\mathbb{Z}$ para el grupo como uno).

Pero para $E_n$ obtienes $n$ forma "compatible" (en un sentido teórico de la homotopía) de multiplicar los elementos y todos los elementos superiores en el grupo de homotopía proviene de la interacción (la ley de coherencia, que vienen dadas por las homotopías) entre estas multiplicaciones, por ejemplo la libre $E_2$ -tiene todos los grupos de trenzas que aparecen como sus varios $\pi_1$ debido a eso, y el grupo libre como $E_2$ -el álgebra se vuelve demasiado complicada para describirla (bueno... es $\Omega^2 \mathbb{S}^2$ ).

Así que la diferencia es que para $n=1$ no se produce tal interacción porque para obtenerla se necesitan al menos dos multiplicaciones compatibles.

Como alternativa a la maquinaria delooping, se puede (de alguna manera equivalente) pensar en los espacios como $\infty$ -y como $n$ -esfera como la $\infty$ -groupoide generado libremente por una célula de dimensión $n$ . La discusión es prácticamente la misma, salvo que ahora el $n$ multiplicación "compatible" son simplemente las composiciones en dirección $k$ para $k$ de $0$ a $n-1$ .

Edición: Así es como se obtiene un elemento no trivial de $\pi_3(\mathbb{S}^2)$ en la segunda perspectiva. Estoy usando un modelo no especificado de débil $\infty$ -groupoide, y aplicando libremente la operación de estricto $\infty$ -para dar una idea de cómo funciona, esto no pretende ser formal (pero es formalizable en cualquier modelo algebraico de categorías débiles). $\infty$ -o en Hott )

Dadas dos celdas $u$ y $v$ cuyo origen y destino es una identidad (débil), el argumento habitual de Eckman Hilton (por lo que el ejemplo típico de interacción entre $\#_0$ y $\#_1$ como he mencionado anteriormente) da un isomorfismo $\theta_{u,v} : u \#_0 v \simeq v \#_0 u$ .

Si $e$ es la 2-célula generadora de la 2-esfera entonces esto da un isomorfismo $\theta_{e,e}: e \#_0 e \simeq e \#_0 e $ tomando $e^*$ a $0$ inverso de $e$ se tiene que $e^* \#_0 \theta_{e,e} \# e^*$ es una célula 3 cuyo origen y destino son (hasta el isomorfismo de coherencia que expresa que $e$ y $e^*$ son inversas), por lo que da un elemento de $\pi_3(\mathbb{S}^2)$ que es distinto de cero por un argumento de universalidad. Estoy convencido de que es un generador (o sea, la fibración de Hopf o su opuesto, dependiendo de hacia dónde se haya girado el "reloj de Eckman-Hilton"), pero no sé cómo demostrarlo utilizando sólo este tipo de herramientas.

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¿Es realmente posible hacer algunos cálculos con una de estas perspectivas, idealmente la segunda? He pensado un poco en ello pero no sé cómo encontrar la fibración de Hopf como generador del grupo de endomorfismo de la 2-identidad en un 3-grupoide débil con un objeto generado libremente por un 2-endomorfismo de la 1-identidad. Tal vez sea doble, a través de los productos de Whitehead, pero incluso en HoTT para obtener el generador parecen construir la fibración y utilizar la secuencia exacta larga, que me parece un argumento fundamentalmente geométrico.

4 votos

@KevinCarlson : He editado para mostrar cómo obtener un elemento no trivial en $\pi_3(\mathbb{S^2})$ . En teoría se pueden obtener todos los elementos de $\pi_n(\mathbb{S}^m)$ de esta manera, aunque va a ser muy poco automático y no tengo ni idea de cómo se podría demostrar que se han encontrado todos los elementos, así que yo no lo llamaría una forma de calcular $\pi_n(\mathbb{S}^m)$ Para mí es más bien una forma de "nombrar" sus elementos.

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@NoahSnyder : Creo que no estoy entendiendo bien tu comentario: ¿el Eckman-Hilton "antihorario" no es el inverso del Eckman-Hilton horario? así que si los compones deberías obtener algo trivial ¿no?

15voto

knuton Puntos 865

Los grupos homotópicos de esferas corresponden a submanifolds enmarcados del espacio euclidiano mediante la construcción de Pontrjagin-Thom. Por ejemplo, el mapa de Hopf corresponde a un círculo en $\mathbb{R}^3$ enmarcado "con un giro". Los grupos homotópicos de $S^1$ corresponden así a submanifolds enmarcados de codimensión uno. Pero tales submanifolds están canónicamente enmarcados y son todos acotados, por lo que no hay ejemplos interesantes/no triviales.

1 votos

Esto es probablemente bien conocido, pero ¿podría describir lo que el ambiente es aquí cuando usted dice "submanifolds del espacio euclidiano"? ¿Es algo así como R^ \infty con la topología de límite directo?

2 votos

Siento ser breve: si consideramos $\pi_n(S^k)$ entonces los submanifolds en cuestión son de codimensión $k$ submanifolds de $\mathbb{R}^n$ . (Se puede considerar que el colector ambiental es $\mathbb{R}^n$ en lugar de $S^n$ porque el mapa está basado de modo que la preimagen de un punto no base será disjunta del punto base de $S^n$ .)

1 votos

Esta perspectiva enmarcada del cobordismo pone de relieve el hecho de que el único ingrediente que interesa en el cobordismo de los submanifolds de co-dimensión uno es la separación. Así, los grupos de homotopía de $S^1$ son diferentes de los grupos homotópicos de $S^k$ con $k>1$ del mismo modo que $S^0$ es diferente de $S^k$ para $k>0$ es decir $S^0$ no está conectado.

13voto

En cierto sentido, el fracaso de los grupos homotópicos superiores de $S^n$ ser trivial, $n>1$ se debe a que no representan cohomología singular. Si los grupos de homotopía superiores fueran triviales, todas las esferas serían espacios de Eilenberg-MacLane y representarían la cohomología. Para la mayoría de las esferas, esta falta de representación de la cohomología se debe a que no son espacios de bucles, lo que a su vez se debe a que no son grupos.

4 votos

Bien, $S^3$ es un grupo (sí, sí, no uno conmutativo...)

1 votos

El "la mayoría" se refiere tanto a no representar la cohomología como a no ser un grupo, ya que sólo un par de ellos lo consiguen.

10voto

Al jabra Puntos 123

Una explicación se deriva del hecho de que si $X$ es un espacio y $\tilde X$ es su cobertura universal, entonces para $i\geq 2$ tenemos $\pi_i X \cong \pi_i \tilde X$ .

Entonces basta con observar que la cubierta universal de $S^1$ es $\mathbb R$ (que es contractible y, por tanto, tiene grupos de homotopía superior evanescentes), mientras que para $n > 1$ la cubierta universal de $S^n$ es sólo $S^n$ (es de conexión simple, por lo que se puede tomar la identidad como un mapa de cobertura).

14 votos

Pero eso no explica por qué los grupos homotópicos de las esferas son distintos de cero... Lo único que se puede concluir es que $\pi_k(S^n) = \pi_k(S^n)$ ¡!

17 votos

@NajibIdrissi Sí responde a la pregunta del cuerpo: "¿Qué hace $S^1$ tan fundamentalmente diferentes"?

6 votos

@NajibIdrissi Modulo teorema de Whitehead explica por qué al menos un grupo homotópico superior es distinto de cero.

5voto

Tim Koscielski Puntos 409

No soy un teórico de la homotopía, pero tengo una pequeña intuición que puede ser útil. No he estudiado los conceptos subyacentes lo suficiente como para entrar en detalles significativos. Tal vez alguien más pueda ampliar esto; tal vez mis pensamientos estén totalmente equivocados. Pero sin más preámbulos

Voy a comparar la 1-esfera y la 2-esfera describiéndolas en alternancia, un párrafo cada una.

Si quieres trazar una 1-esfera, una forma de hacerlo es tomar una 0-esfera (un par de puntos), anclar uno de los puntos, y mover el otro punto en un bucle, comenzando y terminando en ese punto de anclaje. De este modo, habrás trazado un camino dentro de la 1-esfera, y ese camino es el generador del espacio.

Del mismo modo, si quieres trazar una 2-esfera, puedes tomar una 1-esfera, anclar uno de los puntos y mover el punto opuesto en un bucle, empezando y terminando en ese punto de anclaje. De este modo, habrás trazado una homotopía (un camino de 2) dentro de la 2-esfera, y esa homotopía es el generador del espacio.

Por supuesto, la 1-esfera tiene más bucles (caminos desde el punto de anclaje hasta sí misma) que sólo el generador. Hay un bucle trivial, y también se pueden invertir bucles y componerlos. Estas son, por supuesto, simplemente las operaciones de un grupo, y el grupo de homotopía $\pi_1(S^1)$ describe cómo funcionan estas operaciones.

Del mismo modo, la 2-esfera tiene más 2-lazos (homotopías del bucle trivial en el punto de anclaje, a sí mismo) que sólo el generador. De nuevo tenemos las operaciones de grupo, descritas por el grupo de homotopía $\pi_2(S^2)$ .

Con la 1-esfera, las operaciones de grupo "cuentan toda la historia". Hasta la homotopía, no hay más bucles que los creados por las operaciones de grupo.

Con la 2-esfera, las operaciones de grupo ya no cuentan toda la historia. La generatriz que hemos identificado consiste en tomar un punto y moverlo en círculo en una dirección determinada. Las operaciones de grupo nos permiten movernos en la dirección opuesta. Pero también es posible moverse en dirección perpendicular, o hacia los lados, o en cualquiera de los siguientes sentidos $S^1$ -muchas direcciones. Así que para contar toda la historia, necesitamos grupos de homotopía adicionales.


Por supuesto, la pregunta que no consigo responder es: ¿cómo cuentan exactamente los grupos de homotopía adicionales el resto de la historia? La verdad es que no lo sé. Pero espero haber dado alguna motivación sobre cómo, a diferencia del espacio de bucles de $S^1$ el espacio de bucles de $S^2$ es en sí mismo un espacio interesante; y el espacio de bucles de que espacio es un espacio interesante, y así sucesivamente.

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