No soy un teórico de la homotopía, pero tengo una pequeña intuición que puede ser útil. No he estudiado los conceptos subyacentes lo suficiente como para entrar en detalles significativos. Tal vez alguien más pueda ampliar esto; tal vez mis pensamientos estén totalmente equivocados. Pero sin más preámbulos
Voy a comparar la 1-esfera y la 2-esfera describiéndolas en alternancia, un párrafo cada una.
Si quieres trazar una 1-esfera, una forma de hacerlo es tomar una 0-esfera (un par de puntos), anclar uno de los puntos, y mover el otro punto en un bucle, comenzando y terminando en ese punto de anclaje. De este modo, habrás trazado un camino dentro de la 1-esfera, y ese camino es el generador del espacio.
Del mismo modo, si quieres trazar una 2-esfera, puedes tomar una 1-esfera, anclar uno de los puntos y mover el punto opuesto en un bucle, empezando y terminando en ese punto de anclaje. De este modo, habrás trazado una homotopía (un camino de 2) dentro de la 2-esfera, y esa homotopía es el generador del espacio.
Por supuesto, la 1-esfera tiene más bucles (caminos desde el punto de anclaje hasta sí misma) que sólo el generador. Hay un bucle trivial, y también se pueden invertir bucles y componerlos. Estas son, por supuesto, simplemente las operaciones de un grupo, y el grupo de homotopía $\pi_1(S^1)$ describe cómo funcionan estas operaciones.
Del mismo modo, la 2-esfera tiene más 2-lazos (homotopías del bucle trivial en el punto de anclaje, a sí mismo) que sólo el generador. De nuevo tenemos las operaciones de grupo, descritas por el grupo de homotopía $\pi_2(S^2)$ .
Con la 1-esfera, las operaciones de grupo "cuentan toda la historia". Hasta la homotopía, no hay más bucles que los creados por las operaciones de grupo.
Con la 2-esfera, las operaciones de grupo ya no cuentan toda la historia. La generatriz que hemos identificado consiste en tomar un punto y moverlo en círculo en una dirección determinada. Las operaciones de grupo nos permiten movernos en la dirección opuesta. Pero también es posible moverse en dirección perpendicular, o hacia los lados, o en cualquiera de los siguientes sentidos $S^1$ -muchas direcciones. Así que para contar toda la historia, necesitamos grupos de homotopía adicionales.
Por supuesto, la pregunta que no consigo responder es: ¿cómo cuentan exactamente los grupos de homotopía adicionales el resto de la historia? La verdad es que no lo sé. Pero espero haber dado alguna motivación sobre cómo, a diferencia del espacio de bucles de $S^1$ el espacio de bucles de $S^2$ es en sí mismo un espacio interesante; y el espacio de bucles de que espacio es un espacio interesante, y así sucesivamente.
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La operación "espacio de cobertura universal" es simultáneamente muy geométrica y preserva todos los grupos de homotopía excepto $\pi_1$ . Esto envía de forma transparente $S^1$ al espacio contractible $\Bbb R$ . Existen análogos para grupos de homotopía superiores, pero las operaciones de "truncamiento de Whitehead" ya no son tan geométricas; no hay forma real de ver visualmente cuáles son los truncamientos de Whitehead de esferas superiores y, de hecho, no son contractibles.
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Creo que es una combinación de dos hechos: (1) tomar la cubierta universal es "geométrico". En concreto, si $X$ es un $d$ -también lo es su cubierta universal. (2) No hay muchas variedades simplemente conectadas de una dimensión. Nótese que tomar coberturas Whitehead más altas no preserva el hecho de ser un múltiple (y de hecho tiende a enviar objetos finito-dimensionales a objetos infinito-dimensionales, en cierto sentido).
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No estoy seguro de a qué te refieres con "esta no trivialidad parece no desaparecer"; por ejemplo, el grupo de homotopía pi_10 S^6 (en el rango estable) desaparece. Sin embargo, hay infinitos grupos de homotopía no triviales de S^n para n>1. Esto es consecuencia de un resultado conocido como el teorema de McGibbon-Neisendorfer, que afirma que si X es un complejo finito simplemente conectado que no es p-localmente trivial, entonces pi_n X tiene p-torsión para infinitos n. Desde este punto de vista, el hecho de que S^1 no esté simplemente conectado es una raíz del problema.
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@DenisNardin en realidad $n$ -toroide tridimensional $(S^1)^n$ tiene evanescencia de grupos homotópicos superiores, y son n-manifolds.
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@user43326 Nunca he dicho que no existan colectores asféricos, evidentemente hay muchísimos (tori, colectores hiperbólicos,...). Quise decir que si se parte de un colector con no trivial $\pi_n$ y te llevas el $n$ -Whitehead, normalmente dejará de ser el tipo homotópico de una variedad (de hecho, normalmente tenderá a convertirse en "infinito-dimensional" en algún sentido).
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Las etapas superiores de la torre de Whitehead de una variedad son geométricas si se permiten pilas (superiores) diferenciables.
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Supongo que habría que añadir, $S^1$ no es así que diferente. $S^0$ es muy similar a $S^1$ desde la perspectiva de los grupos de homotopía. Mientras que $S^1$ tiene un $\pi_1$ sólo, $S^0$ tiene "dos" no triviales $\pi_0$ dado que tienes dos posibles puntos base.