¿Cuál es la intuición de que los grupos de homotopía superiores no desaparecen?

Question

Los grupos de homotopía de las esferas $S^n$ (véase Wikipedia ) desaparecen para el círculo $S^1$ ya que, ingenuamente hablando, no existen agujeros de orden superior que puedan ser captados por grupos homotópicos de orden superior. Esta intuición ya se rompe para las dos esferas $S^2$ por ejemplo $\pi_3(S^2)$ no es trivial debido a la Fibración de Hopf . Esta no-trivialidad parece mantenerse para todas las esferas superiores $S^n$ . ¿Qué hace que $S^1$ tan fundamentalmente diferentes?

Answer 1

Hasta ahora la discusión se ha centrado sobre todo en una explicación geométrica, pero me gustaría mencionar también la algebraica:

Una forma de formularlo es con la maquinaria del delooping: hasta el delooping, $\mathbb{S}^n$ corresponde al grupo libre como $E_n$ -sobre un generador.

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Pequeño recordatorio: la maquinaria habitual de delooping dice que la construcción de bucle/delooping induce una equivalencia entre espacios puntiagudos $X$ tal que $\pi_k X =0$ para todos $k<n$ y grupo como $E_n$ -algberas. A través de esa correspondencia $\mathbb{S}^n$ corresponde al grupo libre como $E_n$ -en un generador, ya que la función de bucle/desbucle sólo desplaza el $\pi_n$ se puede describir el grupo homotópico de la esfera como grupo homotópico desplazado de estos grupos libres como $E_n$ -álgebra. Una forma más explícita de decir todo esto es que el grupo libre como $E_n$ -álgebra es $\Omega^n \mathbb{S}^n$ .

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Ahora, cuando construyas el $E_1$ -álgebra, no hay mucho que puedas hacer: sólo tienes una forma de multiplicar elementos y la libre $E_1$ -sobre un generador es simplemente el monoide $\mathbb{N}$ (y $\mathbb{Z}$ para el grupo como uno).

Pero para $E_n$ obtienes $n$ forma "compatible" (en un sentido teórico de la homotopía) de multiplicar los elementos y todos los elementos superiores en el grupo de homotopía proviene de la interacción (la ley de coherencia, que vienen dadas por las homotopías) entre estas multiplicaciones, por ejemplo la libre $E_2$ -tiene todos los grupos de trenzas que aparecen como sus varios $\pi_1$ debido a eso, y el grupo libre como $E_2$ -el álgebra se vuelve demasiado complicada para describirla (bueno... es $\Omega^2 \mathbb{S}^2$ ).

Así que la diferencia es que para $n=1$ no se produce tal interacción porque para obtenerla se necesitan al menos dos multiplicaciones compatibles.

Como alternativa a la maquinaria delooping, se puede (de alguna manera equivalente) pensar en los espacios como $\infty$ -y como $n$ -esfera como la $\infty$ -groupoide generado libremente por una célula de dimensión $n$ . La discusión es prácticamente la misma, salvo que ahora el $n$ multiplicación "compatible" son simplemente las composiciones en dirección $k$ para $k$ de $0$ a $n-1$ .

Edición: Así es como se obtiene un elemento no trivial de $\pi_3(\mathbb{S}^2)$ en la segunda perspectiva. Estoy usando un modelo no especificado de débil $\infty$ -groupoide, y aplicando libremente la operación de estricto $\infty$ -para dar una idea de cómo funciona, esto no pretende ser formal (pero es formalizable en cualquier modelo algebraico de categorías débiles). $\infty$ -o en Hott )

Dadas dos celdas $u$ y $v$ cuyo origen y destino es una identidad (débil), el argumento habitual de Eckman Hilton (por lo que el ejemplo típico de interacción entre $\#_0$ y $\#_1$ como he mencionado anteriormente) da un isomorfismo $\theta_{u,v} : u \#_0 v \simeq v \#_0 u$ .

Si $e$ es la 2-célula generadora de la 2-esfera entonces esto da un isomorfismo $\theta_{e,e}: e \#_0 e \simeq e \#_0 e $ tomando $e^*$ a $0$ inverso de $e$ se tiene que $e^* \#_0 \theta_{e,e} \# e^*$ es una célula 3 cuyo origen y destino son (hasta el isomorfismo de coherencia que expresa que $e$ y $e^*$ son inversas), por lo que da un elemento de $\pi_3(\mathbb{S}^2)$ que es distinto de cero por un argumento de universalidad. Estoy convencido de que es un generador (o sea, la fibración de Hopf o su opuesto, dependiendo de hacia dónde se haya girado el "reloj de Eckman-Hilton"), pero no sé cómo demostrarlo utilizando sólo este tipo de herramientas.

Answer 2

Los grupos homotópicos de esferas corresponden a submanifolds enmarcados del espacio euclidiano mediante la construcción de Pontrjagin-Thom. Por ejemplo, el mapa de Hopf corresponde a un círculo en $\mathbb{R}^3$ enmarcado "con un giro". Los grupos homotópicos de $S^1$ corresponden así a submanifolds enmarcados de codimensión uno. Pero tales submanifolds están canónicamente enmarcados y son todos acotados, por lo que no hay ejemplos interesantes/no triviales.

Answer 3

En cierto sentido, el fracaso de los grupos homotópicos superiores de $S^n$ ser trivial, $n>1$ se debe a que no representan cohomología singular. Si los grupos de homotopía superiores fueran triviales, todas las esferas serían espacios de Eilenberg-MacLane y representarían la cohomología. Para la mayoría de las esferas, esta falta de representación de la cohomología se debe a que no son espacios de bucles, lo que a su vez se debe a que no son grupos.

Answer 4

Una explicación se deriva del hecho de que si $X$ es un espacio y $\tilde X$ es su cobertura universal, entonces para $i\geq 2$ tenemos $\pi_i X \cong \pi_i \tilde X$ .

Entonces basta con observar que la cubierta universal de $S^1$ es $\mathbb R$ (que es contractible y, por tanto, tiene grupos de homotopía superior evanescentes), mientras que para $n > 1$ la cubierta universal de $S^n$ es sólo $S^n$ (es de conexión simple, por lo que se puede tomar la identidad como un mapa de cobertura).

Answer 5

No soy un teórico de la homotopía, pero tengo una pequeña intuición que puede ser útil. No he estudiado los conceptos subyacentes lo suficiente como para entrar en detalles significativos. Tal vez alguien más pueda ampliar esto; tal vez mis pensamientos estén totalmente equivocados. Pero sin más preámbulos

Voy a comparar la 1-esfera y la 2-esfera describiéndolas en alternancia, un párrafo cada una.

Si quieres trazar una 1-esfera, una forma de hacerlo es tomar una 0-esfera (un par de puntos), anclar uno de los puntos, y mover el otro punto en un bucle, comenzando y terminando en ese punto de anclaje. De este modo, habrás trazado un camino dentro de la 1-esfera, y ese camino es el generador del espacio.

Del mismo modo, si quieres trazar una 2-esfera, puedes tomar una 1-esfera, anclar uno de los puntos y mover el punto opuesto en un bucle, empezando y terminando en ese punto de anclaje. De este modo, habrás trazado una homotopía (un camino de 2) dentro de la 2-esfera, y esa homotopía es el generador del espacio.

Por supuesto, la 1-esfera tiene más bucles (caminos desde el punto de anclaje hasta sí misma) que sólo el generador. Hay un bucle trivial, y también se pueden invertir bucles y componerlos. Estas son, por supuesto, simplemente las operaciones de un grupo, y el grupo de homotopía $\pi_1(S^1)$ describe cómo funcionan estas operaciones.

Del mismo modo, la 2-esfera tiene más 2-lazos (homotopías del bucle trivial en el punto de anclaje, a sí mismo) que sólo el generador. De nuevo tenemos las operaciones de grupo, descritas por el grupo de homotopía $\pi_2(S^2)$ .

Con la 1-esfera, las operaciones de grupo "cuentan toda la historia". Hasta la homotopía, no hay más bucles que los creados por las operaciones de grupo.

Con la 2-esfera, las operaciones de grupo ya no cuentan toda la historia. La generatriz que hemos identificado consiste en tomar un punto y moverlo en círculo en una dirección determinada. Las operaciones de grupo nos permiten movernos en la dirección opuesta. Pero también es posible moverse en dirección perpendicular, o hacia los lados, o en cualquiera de los siguientes sentidos $S^1$ -muchas direcciones. Así que para contar toda la historia, necesitamos grupos de homotopía adicionales.

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Por supuesto, la pregunta que no consigo responder es: ¿cómo cuentan exactamente los grupos de homotopía adicionales el resto de la historia? La verdad es que no lo sé. Pero espero haber dado alguna motivación sobre cómo, a diferencia del espacio de bucles de $S^1$ el espacio de bucles de $S^2$ es en sí mismo un espacio interesante; y el espacio de bucles de que espacio es un espacio interesante, y así sucesivamente.