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La categoría de homotopía no está completa ni completa

Entiendo que la categoría de homotopía de espacios topológicos (puntiagudos) y mapas continuos no está completa. Tampoco es completo. En particular, no tiene todos los retrocesos ni todos los pushouts.

¿Cuáles son algunos ejemplos simples de tramos$Z\leftarrow X\rightarrow Y$ y cospanos$Z\rightarrow X\leftarrow Y$ que no se pueden completar en los cuadros de empuje y retroceso, respectivamente?

38voto

Brennan Puntos 4532

Voy a trabajar en la base de la categoría, y considerar la posibilidad de $S^1$ as $\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$. Considerar los mapas $$\text{point}\xleftarrow{}S^1\xrightarrow{f}S^1, $$ donde $f(z)=z^2$. Supongamos que existe un pushout $P$. Entonces tendríamos un isomorfismo natural $[P,X]=\text{Hom}(\mathbb{Z}/2,\pi_1(X))$. Por otro lado, la fibration $$ S^1 = B\mathbb{Z} \xrightarrow{f} S^1 \to \mathbb{R}P^\infty = B(\mathbb{Z}/2) \a \mathbb{C}P^\infty = BS^1 \xrightarrow{Bf} \mathbb{C}P^\infty $$ da una secuencia exacta $$ [P,S^1] \to [P,\mathbb{R}P^\infty] \to [P,\mathbb{C}P^\infty]. $$ Ahora $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$ e $\pi_1(\mathbb{R}P^\infty)=\mathbb{Z}/2$ e $\pi_1(\mathbb{C}P^\infty)=0$, por lo que si $[P,X]=\text{Hom}(\mathbb{Z}/2,\pi_1(X))$ a continuación, tenemos una secuencia exacta $0\to\mathbb{Z}/2\to 0$, lo cual es imposible.

23voto

Vetle Puntos 413

He aquí una clase de contraejemplos para la punta de la homotopy categoría de conectado CW complejos (por lo que incluso esta restricción no te salva). Deje $hCW_{\ast}$ denotar esta categoría, y deje $\pi_{\bullet} : hCW_{\ast} \to \text{Set}_{\bullet}$ denotar el functor de tomar la punta de CW complejo a su homotopy grupos $\pi_n$. Por Whitehead del teorema, $\pi_{\bullet}$ es un conservador functor: es el reflejo de isomorphisms en el sentido de que si una de morfismos $f$ tiene la propiedad de que $\pi_{\bullet}(f)$ es un isomorfismo, entonces $f$ debe ser un isomorfismo. Debido a $\pi_{\bullet}$ se compone de una secuencia de representable functors, sino que también conserva los límites que existen en $hCW_{\ast}$. En particular, $hCW_{\ast}$, y $\pi_{\bullet}$ conserva, finito de productos.

Por otro lado, $\pi_{\bullet}$ no es un fiel functor: si $\pi_{\bullet}(f) = \pi_{\bullet}(g)$ no $f = g$ en el homotopy categoría (por lo del teorema de Whitehead para los mapas de falla). En la tercera mano:

Lema 1: Si $C, D$ son las categorías con ecualizadores y $F : C \to D$ es un conservador functor que conserva ecualizadores, a continuación, $F$ es fiel.

Prueba. En paralelo dos morfismos $f, g : c \to d$ en $C$ son iguales iff su ecualizador, como un mapa a $c$, es un isomorfismo. Desde $F$ conserva ecualizadores y es conservador, también se refleja ecualizadores, así que si $F(f)$ e $F(g)$ tiene un ecualizador en $D$,, a continuación, $f$ e $g$ tiene un ecualizador en $C$. Por otra parte, si $F(f) = F(g)$,, a continuación, $F(f)$ e $F(g)$ tiene ecualizador de un isomorfismo a $F(c)$, y desde $F$ es conservador, $f$ e $g$ también debe tener ecualizador de un isomorfismo a $c$, y así debe ser igual. $\Box$

Lema 2: Si $C$ ha finito productos y pullbacks, entonces tiene ecualizadores. Si $F$ conserva finito productos y pullbacks, entonces se conserva ecualizadores.

Prueba. Supongamos $f, g : c \to d$ están en paralelo dos morfismos. A continuación, su ecualizador es equivalente a la retirada de el diagrama de $c \xrightarrow{(\text{id}_c, f)} c \times d \xleftarrow {(\text{id}_c, g)} c$. En otras palabras, es dado por la intersección de sus "gráficos" en $c \times d$. $\Box$

Corolario: $hCW_{\ast}$ no tiene pullbacks.

Este argumento es constructiva en el sentido de que cualquier ejemplo de un par de paralelas mapas de $f, g : X \to Y$ en $hCW_{\ast}$ tal que $\pi_{\bullet}(f) = \pi_{\bullet}(g)$ pero $f \neq g$ produce un ejemplo de un pullback que no existe en $hCW_{\ast}$, es decir, la retirada del diagrama

$$X \xrightarrow{(\text{id}_X, f)} X \times Y \xleftarrow{(\text{id}_X, g)} X.$$

Hay muchos ejemplos de este tipo de mapas; por ejemplo, podemos tomar $X$ e $Y$ tener homotopy grupos en distintos grados. El más simple de los ejemplos ha $X = BG, Y = B^2 A$ para un grupo de $G$ y algunos abelian grupo $A$; luego homotopy clases de mapas de $X \to Y$ son dadas por el grupo de cohomology clases en $H^2(G, A)$, o, equivalentemente, por el centro de extensiones de $G$ por $A$. Pero $\pi_{\bullet}(f) = 0$ para cualquier mapa de $f : X \to Y$.

6voto

enkrs Puntos 116

He aquí un ejemplo de la falta de retirada en el homotopy categoría de espacios, relacionados con Neil y Qiaochu respuestas. Voy a trabajar en punta espacios, aunque veremos que el argumento también trabaja en unpointed espacios. Digamos que el trabajo en el habitual homotopy categoría (es decir, la localización con respecto a la debilidad de homotopy equivalencias).

Suponga que $$\requieren{AMScd} \begin{CD} P @>>> K(\mathbb{Z},2)\\ @VVV @VV {n} V\\ \ast @>>> K(\mathbb{Z},2)\\ \end{CD}$$ es un retroceso en la homotopy categoría. Este dice que los mapas de $[X,P]$ consisten en el subconjunto de $[X,K(\mathbb{Z},2)]$ de los mapas de convertirse null-homotópica después de componer con $n \colon K(\mathbb{Z},2) \to K(\mathbb{Z},2)$, en otras palabras, el $n$-torsión en $[X,K(\mathbb{Z},2)]$.

Tomando $X = S^0$ rendimientos que $P$ es la ruta de acceso conectado. Tomando esferas $X = S^i$ rendimientos que $P$ es débilmente contráctiles. En particular, $P$ tiene la singular cohomology de un punto. Ahora vamos a $\alpha \colon K(\mathbb{Z}/n,1) \to K(\mathbb{Z},2)$ ser un generador de $H^2( K(\mathbb{Z}/n,1); \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n$. La igualdad de $n \alpha = 0$ implica que el $\alpha$ factores a través de $P$. Esto es una contradicción, ya que $\alpha$ induce un no-cero mapa en cohomology $H^2(-;\mathbb{Z})$.

Comentario 1. El argumento también trabaja en la ingenua homotopy categoría (es decir, los espacios y homotopy clases de mapas). El espacio de $P$ podría no tener la homotopy tipo de un CW complejo y no sabemos que singular cohomology $H^2(P;\mathbb{Z})$ está representado por los mapas de $P \to K(\mathbb{Z},2)$; sólo se utiliza $H^2(P;\mathbb{Z}) = 0$. Por el hecho de que un débil homotopy equivalencia induce un isomorfismo en singular (co)homología, ver Hatcher la Proposición 4.21.

Observación 2: Vamos a adaptar el ejemplo a unpointed espacios. Recordemos que para la ruta de acceso conectado a $Y$, el olvidadizo mapa de $[X,Y]_* \to [X,Y]$ desde señaló homotopy clases de punta mapas para unpointed homotopy clases de unpointed mapas es surjective e induce un bijection $[X,Y] = [X,Y]_* / \pi_1(Y)$ para el conjunto de la $\pi_1(Y)$de las órbitas en $[X,Y]_*$; ver Hatcher la Proposición 4A.2. En el ejemplo anterior, teniendo en $X = \ast$ rendimientos que $P$ es la ruta de acceso conectado. Tomando $X = S^1$ rendimientos que $\pi_1(P)$ tiene sólo una clase conjugacy, por lo tanto es la trivial grupo. El resto del argumento se pasa a través.

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