He aquí una clase de contraejemplos para la punta de la homotopy categoría de conectado CW complejos (por lo que incluso esta restricción no te salva). Deje $hCW_{\ast}$ denotar esta categoría, y deje $\pi_{\bullet} : hCW_{\ast} \to \text{Set}_{\bullet}$ denotar el functor de tomar la punta de CW complejo a su homotopy grupos $\pi_n$. Por Whitehead del teorema, $\pi_{\bullet}$ es un conservador functor: es el reflejo de isomorphisms en el sentido de que si una de morfismos $f$ tiene la propiedad de que $\pi_{\bullet}(f)$ es un isomorfismo, entonces $f$ debe ser un isomorfismo. Debido a $\pi_{\bullet}$ se compone de una secuencia de representable functors, sino que también conserva los límites que existen en $hCW_{\ast}$. En particular, $hCW_{\ast}$, y $\pi_{\bullet}$ conserva, finito de productos.
Por otro lado, $\pi_{\bullet}$ no es un fiel functor: si $\pi_{\bullet}(f) = \pi_{\bullet}(g)$ no $f = g$ en el homotopy categoría (por lo del teorema de Whitehead para los mapas de falla). En la tercera mano:
Lema 1: Si $C, D$ son las categorías con ecualizadores y $F : C \to D$ es un conservador functor que conserva ecualizadores, a continuación, $F$ es fiel.
Prueba. En paralelo dos morfismos $f, g : c \to d$ en $C$ son iguales iff su ecualizador, como un mapa a $c$, es un isomorfismo. Desde $F$ conserva ecualizadores y es conservador, también se refleja ecualizadores, así que si $F(f)$ e $F(g)$ tiene un ecualizador en $D$,, a continuación, $f$ e $g$ tiene un ecualizador en $C$. Por otra parte, si $F(f) = F(g)$,, a continuación, $F(f)$ e $F(g)$ tiene ecualizador de un isomorfismo a $F(c)$, y desde $F$ es conservador, $f$ e $g$ también debe tener ecualizador de un isomorfismo a $c$, y así debe ser igual. $\Box$
Lema 2: Si $C$ ha finito productos y pullbacks, entonces tiene ecualizadores. Si $F$ conserva finito productos y pullbacks, entonces se conserva ecualizadores.
Prueba. Supongamos $f, g : c \to d$ están en paralelo dos morfismos. A continuación, su ecualizador es equivalente a la retirada de el diagrama de $c \xrightarrow{(\text{id}_c, f)} c \times d \xleftarrow {(\text{id}_c, g)} c$. En otras palabras, es dado por la intersección de sus "gráficos" en $c \times d$. $\Box$
Corolario: $hCW_{\ast}$ no tiene pullbacks.
Este argumento es constructiva en el sentido de que cualquier ejemplo de un par de paralelas mapas de $f, g : X \to Y$ en $hCW_{\ast}$ tal que $\pi_{\bullet}(f) = \pi_{\bullet}(g)$ pero $f \neq g$ produce un ejemplo de un pullback que no existe en $hCW_{\ast}$, es decir, la retirada del diagrama
$$X \xrightarrow{(\text{id}_X, f)} X \times Y \xleftarrow{(\text{id}_X, g)} X.$$
Hay muchos ejemplos de este tipo de mapas; por ejemplo, podemos tomar $X$ e $Y$ tener homotopy grupos en distintos grados. El más simple de los ejemplos ha $X = BG, Y = B^2 A$ para un grupo de $G$ y algunos abelian grupo $A$; luego homotopy clases de mapas de $X \to Y$ son dadas por el grupo de cohomology clases en $H^2(G, A)$, o, equivalentemente, por el centro de extensiones de $G$ por $A$. Pero $\pi_{\bullet}(f) = 0$ para cualquier mapa de $f : X \to Y$.