La categoría de homotopía no está completa ni completa

Question

Entiendo que la categoría de homotopía de espacios topológicos (puntiagudos) y mapas continuos no está completa. Tampoco es completo. En particular, no tiene todos los retrocesos ni todos los pushouts.

¿Cuáles son algunos ejemplos simples de tramos$Z\leftarrow X\rightarrow Y$ y cospanos$Z\rightarrow X\leftarrow Y$ que no se pueden completar en los cuadros de empuje y retroceso, respectivamente?

Answer 1

Voy a trabajar en la base de la categoría, y considerar la posibilidad de $S^1$ as $\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$. Considerar los mapas $$\text{point}\xleftarrow{}S^1\xrightarrow{f}S^1,$$ donde $f(z)=z^2$. Supongamos que existe un pushout $P$. Entonces tendríamos un isomorfismo natural $[P,X]=\text{Hom}(\mathbb{Z}/2,\pi_1(X))$. Por otro lado, la fibration $$S^1 = B\mathbb{Z} \xrightarrow{f} S^1 \to \mathbb{R}P^\infty = B(\mathbb{Z}/2) \a \mathbb{C}P^\infty = BS^1 \xrightarrow{Bf} \mathbb{C}P^\infty$$ da una secuencia exacta $$[P,S^1] \to [P,\mathbb{R}P^\infty] \to [P,\mathbb{C}P^\infty].$$ Ahora $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$ e $\pi_1(\mathbb{R}P^\infty)=\mathbb{Z}/2$ e $\pi_1(\mathbb{C}P^\infty)=0$, por lo que si $[P,X]=\text{Hom}(\mathbb{Z}/2,\pi_1(X))$ a continuación, tenemos una secuencia exacta $0\to\mathbb{Z}/2\to 0$, lo cual es imposible.

Answer 2

He aquí una clase de contraejemplos para la punta de la homotopy categoría de conectado CW complejos (por lo que incluso esta restricción no te salva). Deje $hCW_{\ast}$ denotar esta categoría, y deje $\pi_{\bullet} : hCW_{\ast} \to \text{Set}_{\bullet}$ denotar el functor de tomar la punta de CW complejo a su homotopy grupos $\pi_n$. Por Whitehead del teorema, $\pi_{\bullet}$ es un conservador functor: es el reflejo de isomorphisms en el sentido de que si una de morfismos $f$ tiene la propiedad de que $\pi_{\bullet}(f)$ es un isomorfismo, entonces $f$ debe ser un isomorfismo. Debido a $\pi_{\bullet}$ se compone de una secuencia de representable functors, sino que también conserva los límites que existen en $hCW_{\ast}$. En particular, $hCW_{\ast}$, y $\pi_{\bullet}$ conserva, finito de productos.

Por otro lado, $\pi_{\bullet}$ no es un fiel functor: si $\pi_{\bullet}(f) = \pi_{\bullet}(g)$ no $f = g$ en el homotopy categoría (por lo del teorema de Whitehead para los mapas de falla). En la tercera mano:

Lema 1: Si $C, D$ son las categorías con ecualizadores y $F : C \to D$ es un conservador functor que conserva ecualizadores, a continuación, $F$ es fiel.

Prueba. En paralelo dos morfismos $f, g : c \to d$ en $C$ son iguales iff su ecualizador, como un mapa a $c$, es un isomorfismo. Desde $F$ conserva ecualizadores y es conservador, también se refleja ecualizadores, así que si $F(f)$ e $F(g)$ tiene un ecualizador en $D$,, a continuación, $f$ e $g$ tiene un ecualizador en $C$. Por otra parte, si $F(f) = F(g)$,, a continuación, $F(f)$ e $F(g)$ tiene ecualizador de un isomorfismo a $F(c)$, y desde $F$ es conservador, $f$ e $g$ también debe tener ecualizador de un isomorfismo a $c$, y así debe ser igual. $\Box$

Lema 2: Si $C$ ha finito productos y pullbacks, entonces tiene ecualizadores. Si $F$ conserva finito productos y pullbacks, entonces se conserva ecualizadores.

Prueba. Supongamos $f, g : c \to d$ están en paralelo dos morfismos. A continuación, su ecualizador es equivalente a la retirada de el diagrama de $c \xrightarrow{(\text{id}_c, f)} c \times d \xleftarrow {(\text{id}_c, g)} c$. En otras palabras, es dado por la intersección de sus "gráficos" en $c \times d$. $\Box$

Corolario: $hCW_{\ast}$ no tiene pullbacks.

Este argumento es constructiva en el sentido de que cualquier ejemplo de un par de paralelas mapas de $f, g : X \to Y$ en $hCW_{\ast}$ tal que $\pi_{\bullet}(f) = \pi_{\bullet}(g)$ pero $f \neq g$ produce un ejemplo de un pullback que no existe en $hCW_{\ast}$, es decir, la retirada del diagrama

$$X \xrightarrow{(\text{id}_X, f)} X \times Y \xleftarrow{(\text{id}_X, g)} X.$$

Hay muchos ejemplos de este tipo de mapas; por ejemplo, podemos tomar $X$ e $Y$ tener homotopy grupos en distintos grados. El más simple de los ejemplos ha $X = BG, Y = B^2 A$ para un grupo de $G$ y algunos abelian grupo $A$; luego homotopy clases de mapas de $X \to Y$ son dadas por el grupo de cohomology clases en $H^2(G, A)$, o, equivalentemente, por el centro de extensiones de $G$ por $A$. Pero $\pi_{\bullet}(f) = 0$ para cualquier mapa de $f : X \to Y$.

Answer 3

He aquí un ejemplo de la falta de retirada en el homotopy categoría de espacios, relacionados con Neil y Qiaochu respuestas. Voy a trabajar en punta espacios, aunque veremos que el argumento también trabaja en unpointed espacios. Digamos que el trabajo en el habitual homotopy categoría (es decir, la localización con respecto a la debilidad de homotopy equivalencias).

Suponga que $$\requieren{AMScd} \begin{CD} P @>>> K(\mathbb{Z},2)\\ @VVV @VV {n} V\\ \ast @>>> K(\mathbb{Z},2)\\ \end{CD}$$ es un retroceso en la homotopy categoría. Este dice que los mapas de $[X,P]$ consisten en el subconjunto de $[X,K(\mathbb{Z},2)]$ de los mapas de convertirse null-homotópica después de componer con $n \colon K(\mathbb{Z},2) \to K(\mathbb{Z},2)$, en otras palabras, el $n$-torsión en $[X,K(\mathbb{Z},2)]$.

Tomando $X = S^0$ rendimientos que $P$ es la ruta de acceso conectado. Tomando esferas $X = S^i$ rendimientos que $P$ es débilmente contráctiles. En particular, $P$ tiene la singular cohomology de un punto. Ahora vamos a $\alpha \colon K(\mathbb{Z}/n,1) \to K(\mathbb{Z},2)$ ser un generador de $H^2( K(\mathbb{Z}/n,1); \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n$. La igualdad de $n \alpha = 0$ implica que el $\alpha$ factores a través de $P$. Esto es una contradicción, ya que $\alpha$ induce un no-cero mapa en cohomology $H^2(-;\mathbb{Z})$.

Comentario 1. El argumento también trabaja en la ingenua homotopy categoría (es decir, los espacios y homotopy clases de mapas). El espacio de $P$ podría no tener la homotopy tipo de un CW complejo y no sabemos que singular cohomology $H^2(P;\mathbb{Z})$ está representado por los mapas de $P \to K(\mathbb{Z},2)$; sólo se utiliza $H^2(P;\mathbb{Z}) = 0$. Por el hecho de que un débil homotopy equivalencia induce un isomorfismo en singular (co)homología, ver Hatcher la Proposición 4.21.

Observación 2: Vamos a adaptar el ejemplo a unpointed espacios. Recordemos que para la ruta de acceso conectado a $Y$, el olvidadizo mapa de $[X,Y]_* \to [X,Y]$ desde señaló homotopy clases de punta mapas para unpointed homotopy clases de unpointed mapas es surjective e induce un bijection $[X,Y] = [X,Y]_* / \pi_1(Y)$ para el conjunto de la $\pi_1(Y)$de las órbitas en $[X,Y]_*$; ver Hatcher la Proposición 4A.2. En el ejemplo anterior, teniendo en $X = \ast$ rendimientos que $P$ es la ruta de acceso conectado. Tomando $X = S^1$ rendimientos que $\pi_1(P)$ tiene sólo una clase conjugacy, por lo tanto es la trivial grupo. El resto del argumento se pasa a través.