Un complejo de Pachner para variedades trianguladas

Question

Un teorema de Pachner afirma que si dos triangulaciones de PL son homeomórficas, las dos triangulaciones están relacionadas a través de una secuencia finita de movimientos, actualmente llamados "movimientos de Pachner".

Un movimiento de Pachner tiene una imagen muy simple. Si $N$ es un triangulado $n$ -manifold y $C \subset N$ es un subcomplejo de co-dimensión cero de $N$ que equivale a un subcomplejo $D'$ de $\partial \Delta_{n+1}$ donde $\Delta_{n+1}$ es un $(n+1)$ -simplex equipado con su triangulación estándar, entonces se puede sustituir $N'$ en $N$ por $(\partial \Delta_{n+1}) \setminus D'$ de $\partial \Delta_{n+1}$ , siendo los mapas de encolado los únicos disponibles para ti.

Una forma de decir el teorema de Pachner es que existe un ''gráfico'' de triangulaciones de $N$ y está conectado. Específicamente, los vértices de este gráfico consisten en triangulaciones de $N$ tomada hasta la equivalencia de que dos triangulaciones son equivalentes si existe un automorfismo de $N$ enviando una triangulación a la otra. Las aristas de este gráfico son los movimientos de Pachner.

Esta formulación sugiere una idea. ¿Existe una noción útil de "complejo de Pachner"?

Por supuesto, esto llevaría a muchas otras preguntas, como qué propiedades geométricas/topológicas tiene dicho complejo, si es contraíble, por ejemplo, si hay caminos "cortos" que conecten dos puntos cualesquiera del complejo, etc.

Tengo curiosidad por saber si la gente tiene una idea de lo que debería ser ese complejo de Pachner. Por ejemplo, algunos movimientos de Pachner conmutan en el sentido de que los subcomplejos $C_1, C_2 \subset N$ son disjuntos, por lo que se pueden aplicar los movimientos de Pachner independientemente unos de otros. Es de suponer que esto debería dar lugar a un "cuadrado" en cualquier complejo de Pachner razonable.

Esto se siente relacionado con el tipo de complejos que Waldhausen y Hatcher solían utilizar en los años 70, pero también es un poco diferente.

• Udo Pachner, Las variedades homeomórficas de P.L. son equivalentes por medio de revestimientos elementales, European J. Combin. 12 (1991), 129-145.

Answer 1

Mi vago recuerdo es que la forma de demostrar el teorema de Pachner es demostrar la existencia de una triangulación conectable de $M\times I$ extendiendo las triangulaciones dadas en $M\times \{0,1\}$ . Aquí "conchable" significa que podemos añadir $(n+1)$ -simplemente a $M\times\{0\}$ uno a la vez (eventualmente agregando todos para llegar a $M\times \{1\}$ ) de modo que la interfaz entre lo que hemos añadido y lo que no es siempre una variedad triangulada homeomorfa a $M$ .

Esto sugiere la siguiente definición de un "complejo de Pachner". Las celdas 0 y 1 son, por supuesto, triangulaciones de $M$ y los movimientos de Pachner, como usted describe. Hay dos clases de 2 células. La primera clase corresponde a cambiar el orden en que $(n+1)$ -se añade en el párrafo anterior. Basta (creo) con considerar la posibilidad de intercambiar el orden de dos $(n+1)$ -símbolos que son adyacentes en el "tiempo". Todavía hay muchas posibilidades, ya que estos dos símbolos podrían ser adyacentes (o disjuntos) en $M$ de varias maneras, y también se cruzan con los símiles ya añadidos de varias maneras.

La segunda clase de 2 celdas corresponde a cambiar la triangulación de $M\times I$ del primer párrafo anterior. En cierto sentido, hacemos un movimiento de Pachner de orden superior en $M\times I$ . Más concretamente, dividir el límite de un $(n+2)$ -simplemente en dos $(n+1)$ -bolas $B_1$ y $B_2$ que se cruzan en un $n$ -esfera $E$ y, a continuación, dividir de forma similar $E$ en un par de $n$ -bolas $C_1$ y $C_2$ . Después de elegir las ordenaciones de $(n+1)$ -simplemente, $B_1$ y $B_2$ corresponden a dos secuencias diferentes de movimientos de Pachner, $s_1$ y $s_2$ que conecta el triangulado $n$ -bolas $C_1$ y $C_2$ . Correspondiendo a todos los datos anteriores tenemos una celda 2 en el complejo de Pachner cuya frontera es $s_1 s_2^{-1}$ .

En general, el $k$ -células del complejo de Pachner corresponderían a sicigias de orden superior del grupo simétrico, o a formas de dividir los límites de símplices de dimensión superior, o a combinaciones de éstas.

Faltan muchos detalles en el esbozo anterior de definición de un "complejo de Pachner", e incluso con esos detalles clavados habría que demostrar que el complejo es contráctil. Pero me parece que ésta es la idea general correcta para un complejo de este tipo.

Answer 2

Creo que es una idea muy buena. Si aún no lo ha hecho, puede que quiera ver

Nabutovsky, A. Geometría del espacio de las triangulaciones de una variedad compacta. Comm. Math. Phys. 181 (1996), no. 2, 303--330. MR1414835

Este artículo analiza las propiedades métricas del "gráfico de triangulaciones" que mencionas.

Answer 3

Discutí este complejo con algunas personas, hace un tiempo (¿quizás incluyendo a Ben Burton y Jonathan Spreer?). Decidimos que su "geometría gruesa" no es muy agradable.

Supongamos que $M$ es una superficie. Sea $P(M)$ sea su gráfico de Pachner. Realizamos movimientos de Pachner para asegurar que hay $k$ discos disjuntos en la triangulación actual. Ahora subdividimos independientemente dentro de estos discos. Deducimos que $P(M)$ contiene "quasi- $k$ -ortogramas": subgrafos cuasi-isométricos a $\mathbb{N}^k$ . Esto es cierto para todos los $k$ .

Si fijamos el número de celdas cero en la dimensión dos (es decir, no permitimos los movimientos (3,1) y (1,3)), el "gráfico de la vuelta" es muy interesante y aparece en la teoría de Teichmuller. Fijar el número de celdas cero no nos salva en dimensión tres: el grafo vuelve a tener cuasi-ortos de todas las dimensiones. Esto sugiere la siguiente pregunta:

¿Y si restringimos nuestra atención a un manípulo compacto y triangulado $X^4$ y sólo permitir $(3, 3)$ ¿se mueve?

Podemos esperar que este gráfico tenga alguna conexión sensata con el grupo de clases de mapeo de $X^4$ ?