$f$ es un polinomio no constante, $A$ es un conjunto de medida cero, ¿Es cierto que $m(f^{-1}A)=0$ , donde $m$ representa la medida de Lebesgue.

Question

Dejemos que $f$ sea un polinomio no constante, y sea $A \subset \mathbb{R}$ sea un conjunto de medida cero, ¿Es cierto que $m(f^{-1}A)=0$ , donde $m$ representa la medida de Lebesgue.

Si $A$ es un conjunto contable, es fácil ver que $Cardinality (f^{-1}A) \leq Cardinality (\mathbb{N} * \mathbb{N})$ y significa que $m(f^{-1}A)=0$ .

Mi problema para demostrar que esto es cierto, son los conjuntos como el de Cantor, cuya medida es cero pero es incontable.

Se agradece cualquier sugerencia o idea. Gracias.

Answer 1

Siguiendo la idea de @AlexBecker :

Supongamos que $f$ es un polinomio de grado $n$ por lo que tiene como máximo $n-1$ piezas, cada una de las cuales es monótona. Partición $E$ tal que $E=E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_{n-1}$ tal que $f$ restringido a cada $E_k$ es (estrictamente) monótona. Podemos decir $$f=f|_{E_1}+f|_{E_2}+...+f|_{E_{n-1}}$$ Por lo tanto, tenemos : $$f^{-1}A=(f|_{E_1})^{-1}A \ \bigsqcup \ (f|_{E_2})^{-1}A \ \bigsqcup \ ... \bigsqcup \ (f|_{E_{n-1}})^{-1}A \ $$ Si muestro que para cada $1 \leq k \leq n-1$ el conjunto $C_k=(f|_{E_{k}})^{-1}A$ tiene medida cero, hemos terminado. Supongamos que no es el caso, es decir $mC_k=r_k>0$ y observe que, dado que $f|_{E_{k}}$ es estrictamente monótona en $E_k$ podemos encontrar $m_k>0$ (monótona creciente) o $m_k<0$ (monótona decreciente) tal que $f'(x) \geq m_k$ para todos $x \in E_k$ . Por lo tanto, tenemos que $$|m_k| \leq \frac{m \left[f|_{E_{k}}C_k \right]}{m C_k} \Longrightarrow 0 < r_km_k \leq m \left[f|_{E_{k}} C_k \right] \leq mA \ \ \ (by \ \ Monotonicity)$$ Una contradicción. Por lo tanto $$mf^{-1}A=m(f|_{E_1})^{-1}A \ + \ m(f|_{E_2})^{-1}A \ + \ ... + \ m(f|_{E_{n-1}})^{-1}A \ = 0 + 0 + ... + 0 = 0$$