¿Por qué son tan útiles los polinomios en matemáticas?

Question

Esto quizá no tenga respuesta, o tal vez soy demasiado ignorante algebraicamente para expresarlo de manera convincente, pero:

¿Hay alguna razón identificable por la que los polinomios sobre $\mathbb{C}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ son tan omnipresentes en las matemáticas?

¿Es porque los polinomios son en cierto sentido las funciones más naturales definidas en un campo? Ya sé que cada sobre un campo finito $\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$ es un polinomio. Y, por la Teorema de Stone-Weierstrass , toda función continua en un intervalo puede aproximarse mediante un polinomio. ¿Es éste el aspecto universal de los polinomios que "explica" su ubicuidad?

Incluso los polinomios tropicales, que emplean operaciones alternativas de suma/multiplicación formando un semiring, están demostrando su utilidad.

Le agradecería sus comentarios.

Answer 1

Los polinomios son, esencialmente por definición, precisamente las operaciones que se pueden escribir a partir de la suma y la multiplicación. Más formalmente, los polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo $R$ son precisamente los morfismos de la teoría de Lawvere de la conmutativa $R$ -álgebras. Así que, en cierto sentido, preocuparse por los polinomios equivale a preocuparse por los anillos conmutativos y, más en general, por las álgebras conmutativas. Véase, por ejemplo, esta entrada del blog para más detalles; en particular, en esa entrada del blog se precisa la afirmación de que los polinomios no sólo son las operaciones más naturales, sino las únicas operaciones naturales sobre la conmutativa $R$ -álgebras.

Answer 2

Sospecho que la pregunta no tiene respuesta porque la utilidad puede ser subjetiva y racionalizadora nociones subjetivas conduce a más discusiones y menos elucidación. Sin embargo de mencionar un par de aspectos de los polinomios que merecen más atención. prensa.

Los polinomios son una generalización de la representación numérica, sustituyendo la base 10 o base 2 por base x, eliminando el acarreo. Esta representación puede utilizarse para en la formación de códigos de corrección de errores, en el cálculo de transformaciones e incluso en la aceleración de la multiplicación de grandes números. acelerar la multiplicación de números grandes. Los usos que tenía Euler para determinar ciertos resultados combinatorios mediante la manipulación de series de potencias podían obtenerse por truncamiento, por lo que sirvieron como precursoras de las funciones generatrices. También existen también codificaciones polinómicas utilizadas de diversas formas en lógica matemática, entre entre ellas formas de numeración de Goedel y la representación de ciertos hechos aritméticos como soluciones a ciertos sistemas de ecuaciones polinómicas.

En las estructuras algebraicas generales, se eligen algunas operaciones básicas y luego se componen para obtener operaciones derivadas, por ejemplo x+ yxx. Sustituyendo algunas variables por elementos variables, y se obtienen operaciones polinómicas de la estructura, por ejemplo x + 3xx. El conjunto de operaciones polinómicas puede ser un conjunto denso en un conjunto mayor de operaciones, y ahora se pasa a la representación o aproximación de funciones arbitrarias mediante funciones arbitrarias mediante una operación polinómica o una secuencia de éstas. Se estudian muchos problemas interesantes de representación y aproximación, entre ellos la optimización de circuitos y la estabilidad de algoritmos numéricos. la estabilidad de los algoritmos numéricos. El hecho de que los polinomios sean unidades de cálculo finitas nos ayuda a resolver problemas que podrían necesitar cantidades infinitas de cálculo para determinarse con precisión.

Supongo que la respuesta es que a los matemáticos les gusta convertir los problemas en clavos, para poder utilizar martillos polinómicos en ellos. Si funciona, ¿por qué no?

Answer 3

A riesgo de ser demasiado atrevido, permítanme sugerir:

Los polinomios son útiles porque los polinomios cuadráticos son útiles.

Si todos estamos de acuerdo en que el álgebra lineal es una herramienta indispensable en matemáticas, entonces es difícil discutir el éxito de dotar a los espacios vectoriales de estructuras cuadráticas: éste es el punto de partida de casi toda la geometría y de gran parte de la teoría de números. Incluso cuando pasamos a polinomios de grado superior u objetos trascendentales, las estructuras cuadráticas suelen aparecer como aproximaciones locales (¿cuántas veces se pasa del término de grado 2 en una serie de Taylor?).

Así que la pregunta es: ¿por qué son útiles los polinomios cuadráticos? Parece haber dos razones diferentes pero que interactúan. La primera es que las funciones cuadráticas de una variable real son siempre convexas o cóncavas y, por tanto, tienen un máximo o un mínimo únicos. La segunda es que las funciones cuadráticas están íntimamente relacionadas con las formas bilineales y, por tanto, se puede acceder a ellas utilizando el álgebra lineal. La combinación de estas dos razones parece explicar el éxito del álgebra cuadrática en el análisis y la geometría (por ejemplo, los espacios de Hilbert y las variedades riemannianas). Esta es también parte de la historia de su utilidad en teoría de números, aunque no estoy seguro de haber explicado completamente la importancia de las estructuras cuadráticas en campos finitos. (Cuestión relacionada: ¿por qué el álgebra cuadrática sobre $\mathbb{F}_2$ tan fundamental en la topología de los múltiples).

Answer 4

Los polinomios convierten la idea de realizar operaciones aritméticas (una noción dinámica y procedimental: realización de operaciones ) en un objeto estático de las matemáticas que puede considerarse por sí mismo (una noción estática: un lista de instrucciones, o un elemento de un anillo). Se trata de un ejemplo temprano de reificación/objetoificación en matemáticas, que tradicionalmente ha sido muy útil, como la definición de algoritmo, la definición de anillo, la definición de categoría y functor, la definición de cardinal+ordinal, etc. Todas ellas toman lo que antes era una idea matemática aproximada o vaga o intuitiva o no enunciada o procedimental/dinámica y la convierten en un objeto matemático único que puede estudiarse como tal. Es decir, se puede estudiar el objeto en sí mismo, su relación con otros objetos del mismo tipo o de tipos diferentes, etc. (En particular, convertir los procesos en objetos ha sido bastante útil, pero esto no es más que un tipo de un fenómeno más general).

Ahora, ¿por qué polinomios específicamente tan increíble y ampliamente útil? Quizás porque lo que están cosificando es tan básico es decir, las operaciones aritméticas.

Answer 5

Los polinomios pueden utilizarse para extraer información sobre secuencias finitas del mismo modo que las funciones generadoras pueden utilizarse para secuencias infinitas. Sin embargo, es bueno señalar que las funciones generatrices no siempre son más adecuadas para estos fines que los polinomios; éstos permiten más operaciones y pueden desatenderse los problemas de convergencia. De hecho, ni siquiera es necesario que el campo subyacente tenga una estructura topológica.

Permítanme dar algunos ejemplos en los que los polinomios son más apropiados que las funciones generatrices. Por ejemplo, el nullstellensatz combinatorio es una herramienta útil en combinatoria, sobre todo en problemas aditivos, y su formulación se basa en polinomios sobre un campo. Otro ejemplo importante es que se obtienen mejores resultados en el método del círculo de Hardy-Littlewood sustituyendo las series infinitas de Fourier por polinomios trigonométricos. El tercer ejemplo es que manipulando polinomios adecuados en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ da algunos resultados interesantes en teoría numérica, como el teorema de Wolstenholme. El cuarto ejemplo es que las pruebas de irracionalidad y trascendencia suelen basarse en la consideración de polinomios adecuados (por ejemplo, en el caso de $\pi$ ).

Además, los polinomios sirven a veces como ''enteros generalizados'' en contextos de teoría de números. Muchos teoremas son más fáciles de demostrar para ellos (como el último teorema de Fermat para polinomios no constantes), y pueden utilizarse para conjeturar resultados sobre números enteros; así es como se descubrió la conjetura abc, por ejemplo.

Por otra parte, en el análisis complejo, los polinomios son ejemplos básicos en lugar de generalizaciones. Hay numerosos resultados en análisis complejo que son fáciles para los polinomios pero que se generalizan de forma interesante a las funciones analíticas, y por otro lado, también hay muchos resultados en los que los polinomios son las únicas excepciones debido a su lento crecimiento o rigidez. El hecho de que los polinomios estén determinados por sus valores en un número finito de puntos es, de hecho, otra razón de su utilidad en el análisis y también en otras ramas.