¿El teorema de unitarizabilidad de Szőkefalvi-Nagy en el álgebra de Calkin?

Question

He aquí un problema de investigación que me parece interesante. Supongamos que $t$ es un elemento invertible en el álgebra de Calkin $\mathcal{Q} = \mathcal{B}(\ell_2)/\mathcal{K}(\ell_2)$ que satisface $\sup_{n \in \mathbb{Z}} \|t^n\|<+\infty$ . ¿Sigue $t$ es similar a un elemento unitario, es decir, ¿existe un elemento invertible $s \in \mathcal{Q}$ tal que $s t s^{-1}$ ¿es unitario?

Béla Szokefalvi-Nagy ha demostrado que es así cuando se sustituye $\mathcal{Q}$ con $\mathcal{B}(\ell_2)$ (o cualquier otra álgebra de von Neumann, por ejemplo $\mathcal{Q}^{\ast\ast}$ ). Hago esta pregunta, porque un contraejemplo (que creo que existe) proporcionaría un álgebra de operadores susceptible que no es isomorfa a un $\mathrm{C}^\ast$ -La existencia de tal ejemplo es un problema abierto.

Explicaré por qué un contraejemplo proporciona tal ejemplo. Sea $\pi\colon \mathcal{B}(\ell_2)\to \mathcal{Q}$ sea el mapa cociente, $G$ un grupo abeliano (que es $\mathbb{Z}$ en la pregunta anterior) y $u\colon G\to \mathcal{Q}$ un homomorfismo uniformemente acotado. Entonces, el operador álgebra $\mathcal{A} := \pi^{-1}( \overline{\mathrm{span}}\ u(G) )$ es susceptible. Si $\mathcal{A}$ es isomorfo a $\mathrm{C}^\ast$ -entonces, por la solución del problema de similitud para las álgebras amables $\mathrm{C}^\ast$ -algebras, hay $S \in \mathcal{B}(\ell_2)$ tal que $S \mathcal{A} S^{-1}$ es un $\mathrm{C}^\ast$ -subálgebra. Así, $s \pi(\mathcal{A}) s^{-1}$ (donde $s=\pi(S)$ ) es un abeliano $\mathrm{C}^\ast$ -subálgebra de $\mathcal{Q}$ y, por tanto, está formado por elementos normales. Dado que $u$ está uniformemente acotado, $s u(\cdot)s^{-1}$ es un homomorfismo unitario. (Lo contrario también es cierto: si $u$ es similar a un homomorfismo unitario, entonces $\mathcal{A}$ es isomorfo a $\mathrm{C}^\ast$ -Álgebra).

Lo más obvio que hay que intentar es ver si $H^1_b(G,\mathcal{Q}(\ell_2G))\neq0$ . Para empezar, he mirado $H^1_b(G,\ell_\infty(G)/c_0(G))$ pero era cero para cada grupo exacto contable $G$ . (Si es cero para cada grupo $G$ no está claro).

Answer 1

Lo pongo sólo para que la interesante pregunta de Ozawa no quede marcada como sin respuesta y, por tanto, suponga un esfuerzo innecesario para quien la lea. (Nota: ¿podría alguien leer esto Por favor, marque la respuesta para llamar la atención del moderador, para que sea CW).

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Resulta que toda representación uniformemente acotada de un grupo discreto y contable amenable dentro del Calkin es unitarizable. Esto se deduce de las técnicas introducidas en el trabajo de Farah y Hart, como se expone en, por ejemplo arXiv: 1112.3898 que extienden las técnicas de G. K. Pedersen para tratar ciertas álgebras corona. Los detalles del argumento en este caso particular se encuentran en el Teorema 7 del reciente preprint arXiv 1309.2145 por Choi, Farah y Ozawa.