¿Cuál es la relación entre la geometría algebraica derivada conectiva y no conectiva?

Question

"Derivado de la geometría algebraica" por lo general significa que el estudio de la geometría local inspirado en "$Spec R$" donde $R$ es un conectivo $E_\infty$ anillo de espectro (tal vez con otras restricciones). ¿Por qué "conectivo", aunque?

En mi (limitada) de la comprensión, aproximaciones al tema como el de Toen y Vezzosi están motivados como una aproximación al estudio de cosas como la intersección de la teoría ordinaria de la geometría algebraica. La idea es que un conectivo $E_\infty$ anillo de $R$ (encarnado como simplicial anillo conmutativo, por lo general) es un "infinitesimal engrosamiento" de la ordinaria anillo de $\pi_0 R$. Esta imagen se descompone si $R$ no conectivo, de la motivación de restringir la atención a la conectivo caso (por otra parte, no sé de un modelo de nonconnective anillo de espectros análoga a simplicial de los anillos).

Pero otra motivación viene de homotopy teoría, $TMF$, y la de los módulos de la pila de curvas elípticas, que es un nonconnective derivados Deligne-Mumford pila. Cuando el basic motivar a los objetos se nonconnective, me deja perplejo que Lurie sigue centrándose principalmente en la conectivo caso en Espectral de la Geometría Algebraica.

Veo básicamente dos mutuamente excluyentes posibles razones para esto:

1. La teoría de la nonconnective derivados de la geometría algebraica es salvaje / mal comportamiento / difícil de entender, por lo que se restringe la atención a la conectivo casos en los que es más manejable.

2. La teoría de la nonconnective derivados de la geometría algebraica es una sencilla extensión de la teoría de la conectivo derivados de la geometría algebraica; es fácil estudiar nonconnective objetos en términos de conectivo que cubre, pero los resultados son más naturalmente expresado en los términos de la conectivo objetos, así que esa es la forma en que la teoría se expresa.

Pregunta A. Que de (1) / (2) está más cerca de la verdad?

Tal vez como un ejemplo de caso de prueba, aquí hay dos declaraciones tirado al azar de la SAG. Deje $R$ ser un conectivo $E_\infty$ anillo, vamos a $Mod_R$ denotar su $\infty$-categoría de módulos, y $Mod_R^{cn}$ su $\infty$-categoría de conectivo módulos (dos de los cuales son monoidal simétrica), y deje $M \in Mod_R$.

• $M$ es perfecto(=compacto en $Mod_R$) iff $M$ es dualizable en $Mod_R$.

• $M$ es localmente libre (= retractarse de algunas $R^n$) iff $M$ es conectivo y además dualizable en $Mod_R^{cn}$.

Pregunta B. Hacer estas declaraciones han análogos al $R$ es nonconnective? Si es así, son sencillas extensiones de estas declaraciones de la conectivo caso?

Para la Pregunta B, siéntase libre de sustituir un mejor ejemplo de una declaración si te gusta.

Answer 1

Aquí está un ejemplo de un nonconnective $E_\infty$ anillo de espectro que, creo, se ilustra un problema clave. (Un análisis más amplio de este fenómeno se produce en Lurie DAG VIII y en un papel por Bhatt y Halpern-Leinster.)

Deje $R$ ser un común anillo conmutativo, vista como una $E_\infty$ anillo concentrado en grado cero, y $A$ ser el homotopy retroceso / derivados de la retirada en el siguiente diagrama de $E_\infty$ anillos de:

A continuación, $\pi_0 A = R[x,y]$ e $\pi_{-1} A$ es el local cohomology grupo $R[x,y] / (x^\infty, y^\infty)$; todos los otros homotopy grupos de $A$ son cero. Como resultado, hay un mapa de $R[x,y] \to A$ de % de $E_\infty$ anillos, y cualquier $A$-módulo convierte en un $R[x,y]$-módulo por la restricción.

He aquí un teorema. El olvidadizo mapa de la derivada de la categoría $D(A)$ a la deriva categoría $D(R[x,y])$ es totalmente fiel, y lo fundamental de su imagen se compone de módulos compatibles de distancia desde el origen. Esto se extiende a una equivalencia de $\infty$-categorías.

Podemos pensar en esto de la siguiente manera. El anillo de $A$ es el $E_\infty$ anillo de secciones $\Gamma(\Bbb A^2 \setminus \{0\}, \mathcal{O}_{\Bbb A^2})$ en el complemento de origen afín 2-espacio de más de $R$, y el de arriba nos dice que en realidad tienen una equivalencia entre el $A$-módulos y (complejos) quasicoherent poleas en $\Bbb A^2 \setminus \{0\}$.

Aquí están algunos rasgos de este.

• Nonconnective anillo espectros son en realidad bastante natural. Sección Global objetos de $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ son generalmente nonconnective, y que estamos interesados en aquellos.

• El de arriba dice que aunque la pinchada avión no es afín, pero simplemente cuasi-afín, se convierte afín en nonconnective DAG. Este es un fenómeno general.

• Únicamente en el nivel de coeficiente de anillos, el mapa de $R[x,y] \to A$ ve terrible. Es indistinguible de una plaza-extensión cero $R[x,y] \oplus R[x,y]/(x^\infty,y^\infty)[-1]$. (Hay más estructura que la distingue de ellos.)

Muchas de las definiciones dadas en DAG para un mapa se dan en términos del efecto (a nivel local) de un mapa de $B \to A$ de los espectros del anillo (por ejemplo, planitud, étaleness, etc, etc). Para conectivo de los objetos, esto funciona muy bien. Sin embargo, apenas hemos demostrado que para nonconnective objetos, un mapa de el anillo de los espectros de mayo tienen buenas propiedades-el mapa de $Spec(A) \to Spec(R[x,y])$ debe ser abierto inmersión!-que son completamente invisibles en el nivel de coeficiente de anillos. Esto va para los anillos de sí mismos y más aún para su módulo de categorías.

Si tengo un punto aquí, es que tratando de dar definiciones en nonconnective DAG en términos de coeficiente de anillos es como tratar de definir las propiedades de un mapa de esquemas $X \to Y$ en términos de la sección global anillos de $\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y) \to \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$. Esto hace que nonconnective DAG fundamentalmente más difícil.

Por lo que respecta a su pregunta, esto me coloca en algún lugar entre las dos opciones (1) y (2). No creo que (1) es correcta porque creo que nonconnective objetos son demasiado importantes; tengo una leve objeción a la lengua en (2) porque no creo que nonconnective objetos son sencillas.

Answer 2

Como Tyler señaló, es "demasiado fácil" para ser representable en la no-conjuntivo mundo. Esto puede sonar bien, pero viene en el costo de la intuición geométrica. Está relacionado con el hecho de que la negativa homotopy grupos de la cotangente complejo surgir de "stacky" de los fenómenos, mientras que en la no-conjuntivo ajuste será imposible distinguir lo que viene de stackiness y lo que viene de no connectiveness de los anillos sí mismos. Voy a tratar de dar un ejemplo de esto más adelante.

1) en Primer lugar, una ligera modificación de Tyler ejemplo (sólo para mostrar que este es un fenómeno general). Deje $X = Spec(A)$ ser afín esquema y $U \subset X$ un cuasi-compacto abrir subscheme.

Lema: Cuando se la considera como una nonconnective espectral esquema, $U$ es afín.

Prueba: $U$ puede ser escrito como la desaparición de locus de algunos perfecto compleja $F \in Perf(X)$. En otras palabras, como un no-conjuntivo espectral de la pila, el functor de puntos de $U$ es la siguiente: a $T$punto $T \to U$ es $T$punto $x : T \to X$ tal que $x^*(F) = 0$. De acuerdo con la Proposición. 1.2.10.1 en Toën–Vezzosi del HAG II, existe un canónica epimorphism $A \to B$ de los no-conjuntivo $E_\infty$-anillo de espectros tal que $Spec(B)$ tiene el functor de los puntos descritos. (Esta $B$ es discreto si y sólo si $U$ es realmente afín como un esquema clásico.)

2) Deje $X$ ser un (conectivo) espectral, el esquema y la deje $\mathcal{A}$ ser un cuasi-coherentes $\mathcal{O}_X$-álgebra. Considere la relativa Zariski espectro, el (conectivo) espectral de la pila de $Spec_X(\mathcal{A})$ cuyo espacio de $T$-puntos de es $Maps_{\mathcal{O}_T\text{-alg}}(x^*(\mathcal{A}), \mathcal{O}_T)$, para cualquier $X$-esquema de $x : T \to X$. En particular, usted puede tomar $\mathcal{A} = Sym_{\mathcal{O}_X}(F)$ para cualquier perfecta compleja $F$; deje $V_X(F) := Spec_X(Sym_{\mathcal{O}_X}(F))$ denotar la "generalizada vector paquete", asociada a $F$.

Uno puede calcular (ver Teorema 5.2 en Antieau-Gepner) la relativa cotangente complejo de $V_X(F)$ en cualquier punto de $s : T \to V_X(F)$, para un $X$-esquema de $x : T \to X$, como $x^*(F)$. Usted puede leer un montón de información acerca de $V_X(F)$ de la cotangente complejo. Es decir, decir $F$ es de tor-amplitud $[a,b]$ (voy a usar homológica de clasificación). Si $a \ge 0$, es decir, $F$ es no negativo tor-amplitud (de ahí conectivo), a continuación, $V_X(F)$ es representable por un (conectivo) espectral esquema (que es afín a más de $X$): por Zariski descenso, puede suponer $X$ es afín, y, a continuación,$V_X(F) = Spec(\Gamma(X, Sym_{\mathcal{O}_X}(F)))$. Si $a \le 0$,, a continuación, $V_X(F)$ es un espectral $(-a)$-Artin pila (esto es lo que quería decir sobre la cotangente complejo de controlar "stackiness"). Si $b \le 0$ entonces $V_X(F)$ es suave.

Ese fue el conectivo de la historia. En la no-conjuntivo mundo, $V_X(F)$ le "automáticamente" ser representable por un no-conjuntivo espectral esquema incluso cuando $F$ es no-conjuntivo. En otras palabras, pasando a la no-conjuntivo mundo, nos permitimos a nosotros mismos para reemplazar las pilas por "esquemas", pero por otro lado hemos perdido algo importante: no es clara ya que la información que puede leer a partir de la cotangente complejo acerca de la geometría de la "régimen".