Clasificación del lugar

Question

Recientemente he estado asistiendo a un curso del PDE. Yo estaba totalmente ignorante del tema y no estaba motivado para ser honesto. Pero yo estaba intrigado y sentí que tenía que tomar el curso en serio, tanto para los exámenes y porque yo era de plomo a través de un muy complicado camino de la investigación (de la aritmética a través de la geometría algebraica a D-módulos = holomorphic ecuaciones diferenciales lineales).

De todos modos, me dijeron que PDEs fueron clasificados en 3 familias: hiperbólico, elíptico, parabólico, respectivamente. Vi ejemplos de cada uno: de Onda, de Laplace y el Calor de las ecuaciones. Yo también vi un montón de diferentes métodos para resolver estos ejemplos: el uso de la simetría, para reducir a la educación a distancia, la transformada de Fourier, Distribuciones, series de Fourier (en la dimensión 1 para lidiar con condiciones de contorno). Cada vez que parecía que la respuesta era "reducir el problema a una ecuación polinómica o una ODA al de cualquier forma posible". Así que mi geométricas cerebro patadas y trató de dar un unificada interpretación geométrica de todo esto.

Creo entender la distinción entre dichas ecuaciones. Estamos considerando 2º orden ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes reales. Y la idea es reducir la clasificación a la de sus símbolos principales visto como la formas cuadráticas en $\mathbb{R}^n$.

Así que le pregunté a este tipo de preguntas: consideremos un LINEAL de la PDE $Pf = 0$ donde $P$ es un operador diferencial lineal de grado $d$ a $\mathbb{R}^n$.

Pregunta 1: digamos que un "ingenuo elíptica de la PDE" es cualquier PDE dado por diferencia de un operador $P$ cuyo principal símbolo $\sigma(P)$ satisface $\sigma(P)(x,\xi) \neq 0$ para $\xi\neq 0$. Es esta definición de bueno?

Si la respuesta a la pregunta 1 es afirmativa,

Pregunta 2: ¿Cuál es el análogo de una parabólica o hiperbólica operador?

La obvia perfectamente buena respuesta sería: "del PDE se clasifican por el hypersurfaces definido por sus símbolos principales". Desgraciadamente, la respuesta que me dieron fue algo así como "no lo creo, la clasificación es más heurístico que cualquier otra cosa.". ¿Eso significa que "existe una clasificación a lo largo de la tesis líneas, pero es un poco más sutil" o que "las cosas son mucho más complicadas en las dimensiones superiores/grados"?

De todos modos...

Pregunta 3: ¿Es menos cierto que la clasificación de la PDE con coeficiente constante está relacionado con la clasificación de la real algebraica proyectiva hypersurfaces $\{\sigma(P) = 0 \} \subset \mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{R}}$?

Vamos a suponer que en las preguntas anteriores no son completamente equivocado, por razones triviales. Vamos a considerar una PDE con los no-constante de los coeficientes. Entonces, debemos clasificar de acuerdo a las "familias de los algebraica proyectiva hypersurfaces" en $\mathbb{P}(T^*\mathbb{R}^n)$.

Pregunta 4: Qué tipo de familias podemos esperar? Es el relacionado con Gabber del teorema en involutivity de la variedad característica?

Ahora estoy suponiendo que alguien responda a todas estas preguntas sin pensar en las palabras "esto es completamente equivocado". Tengo una última pregunta (al menos antes de la siguiente):

Pregunta 5: ¿por Qué es todo esto tan difícil aprender/enseñar?

PS: Gracias a las personas que se tomaron el tiempo para responder (un montón de comida para el pensamiento). Me encantaría leer más especialmente si usted tiene algunas referencias.

Answer 1

PDE libros a menudo hablar de la clasificación, pero siempre restringir la atención para el caso de segundo orden ecuaciones, especialmente para una función de varias variables, y con buena razón. El punto de una clasificación es encontrar las categorías de la PDE cuyo análisis tiene muchas características en común, pero realmente no hay ninguna en la clasificación general, en ese sentido, ya que el mundo de la PDE es un gran zoo (una vez que deje el 3 familiar de las familias de elípticas, hiperbólicas y parabólicas). Pensar en cómo se podría definir ecuaciones en derivadas parciales parabólicas, incluso en los de segundo orden. Que ya necesita mirar más allá de los símbolos para distinguir $\partial_t u=\partial_{xx} u$ de $0=\partial_{xx} u$. Como el OP señala, el símbolo es sin duda una parte importante de la `clasificación". El símbolo es sólo una parte del cuadro, lo que da un poco más de información en una expresión algebraica formato; véase el libro de Bryant, et. al, Exterior Diferencial de los Sistemas. Pero los sistemas de ecuaciones diferenciales con la misma tableau tienen a menudo diferentes de análisis. Pensar en la famosa Lewy contraejemplo. Hay muchos de muy diferentes géneros de animales en el zoológico, y amplias clasificaciones no nos dan una gran cantidad de información. Busque también en Gromov, Diferencial Parcial de las Relaciones, por un montón de ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales que son localmente la misma, a nivel mundial, pero muy diferentes, y no son como las elípticas, hiperbólicas o parabólico. Así que la pregunta 1: sí, la pregunta 2: hiperbólico es difícil de definir, más allá de segundo orden, ya que para los de segundo orden, hiperbólico es muy diferente de ultrahyperbolic, así que usted realmente necesita algo para distinguir una de Lorenz de la geometría de una forma más general pseudo-geometría de Riemann. Por otro lado, su definición de ellipticity es perfecto, y nos da algunas herramientas para llevar a cabo el análisis. pregunta 3: un poco como si, en que cada uno de los PDE sistema da lugar a una variedad algebraica, pero finalmente no se en que la clasificación de coeficientes constantes de la PDE sistemas es mucho más fina que la clasificación de sus símbolos (de hecho, es exactamente la clasificación de su tableau), pregunta 4: sí, prolongan hasta llegar a la involución, y así la clasificación de involutiva cuadro no es conocido, una gran desordenado problema de álgebra, pregunta 5: como la biología, la que es complicado, porque hay demasiados animales muy diferentes.

Answer 2

Parece que había un curso sobre lineales de 2º orden escalar ecuaciones en derivadas parciales. Todas estas palabras son significativos, pero restrictivas. Hoy en día, la interesante ecuaciones en derivadas parciales no lineales (por ejemplo, el 1 millón de dólares de premio para las ecuaciones de Navier-Stokes). El tipo de una ecuación no lineal se obtiene generalmente por alinear alrededor de una constante de la solución. Pero que puede mostrar un comportamiento extraño lineal que no. Ejemplo: armónica mapas con los valores en los colectores cuya topología no trivial. También, la teoría lineal es esencialmente una parte de análisis funcional (operadores lineales sobre espacios vectoriales topológicos), pero el no lineal teoría es mucho más complicado. A veces, no hay ninguna teoría en absoluto! Ejemplo: hiperbólico de los sistemas de leyes de conservación en varias espacio de variables (mi especialidad).

Volviendo a tus preguntas:

Pregunta 1. Estás en lo correcto mientras su desconocido es escalar. Cuando es el vector con valores, es un poco más complicado. Un sistema de PDE escribe $A(\nabla)\vec u=0$ donde $A$ es una matriz de operadores diferenciales. El principal símbolo $A_0(\xi)$ tiene un poco de homogeneidad: $a_{ij}(\xi)$ es un polinomio homogéneo de grado $\mu_i-\nu_j$. El sistema es de forma elíptica si $A_0(\xi)$ es no singular para cada $\xi\ne0$.

Pregunta 2. Una parabólica operador es el más delicado para definir debido a que su parte principal es no homogénea de orden. No estoy seguro de que en general es suficiente la definición de ella. Hyperbolicity es muy interesante. Usted tiene que distinguir una dirección $\vec e$, lo que ustedes llaman tiempo-como. Permítanme centrarme en ecuaciones escalares y considerar la posibilidad de que la parte principal, digamos del orden de $n$. Su símbolo $P(X)$ es un polinomio homogéneo de grado $n$. Es hiperbólico si $P(\vec e)\ne0$, y para cada $\xi$, el polinomio univariado $t\mapsto P(t\vec e+\xi)$ tiene su $n$ raíces reales. Por lo tanto hyperbolicity tiene mucho que ver con la geometría algebraica real. El Petrowsky de la escuela (en particular, O. A. Oleinik) es famoso en este campo.

Pregunta 3. Este es correcta.

Pregunta 4. El $x$-la dependencia de los coeficientes hace que el análisis sea más difícil, pero no cambia la clasificación anterior. La situación es diferente cuando se considera a los operadores que no caigan en estas tres categorías. El caso de la sub-elípticas a los operadores es especialmente interesante. Hormander comentó que un operador de la forma $X_0+X_1^2+\cdots+X_r^2$, donde el $X_j$'s son suaves campos vectoriales, ha "elíptica" propiedades de la Mentira álgebra se extendió por los campos vectoriales tiene rango completo en cada punto de $x$. Esto se aplica por ejemplo a la de Fokker-Planck operador $\partial_t-\Delta_v-v\cdot\nabla_x$.

Pregunta 5. Es como una medicina en un hospital. Una teoría no es suficiente. Usted necesita saber un montón de diferentes ramas de las matemáticas. Tanto como usted puede. Recientemente, he trabajado en un problema de dinámica de gases y yo convencido de la existencia de completar las superficies mínimas en un espacio de Riemann de curvatura negativa... sin saberlo. Hasta que un colega señaló a mí.

Answer 3

Estoy seguro de la etiqueta que rodea parte de múltiples preguntas. Aquí están las respuestas a las dos sub-partes. Desde su Q5. invita opinión, me he dirigido a que en un comentario en su lugar.

P1: sí, la definición de ellipticity a través de la no-desaparición del principio es un símbolo útil para la caracterización elíptica de la PDE, ver Hörmander del libro. Todas las formas de existencia y regularidad de las propiedades puede ser examinada desde aquí.

P2: Este es más oscuro. Si el principal símbolo de un lineal de la PDE, el orden p, con suave coeficientes es un hiperbólico polinomio, entonces el PDE es hiperbólica. Esto no generalizar fácilmente a no lineal de los casos, y no es una condición fácil de comprobar. Ver una amplia discusión aquí: https://math.stackexchange.com/questions/21525/mathematical-precise-definition-of-a-pde-being-elliptic-parabolic-or-hyperbolic

L. C. Evans, en su prefacio a sus AMS de texto en la PDE, menciona que le resulta insatisfactoria para clasificar a los inhibidores de la PDE, ya que crea la falsa impresión de que un general de clasificación está disponible. Varias ecuaciones de tipo de cambio (por ejemplo. Tricomi de la ecuación) y muchos PDE de interés son altamente no lineales.

Answer 4

Si usted está interesado en un verdadero escalar lineal de la PDE con coeficientes constantes, entonces todo ha sido trabajado, principalmente por Ehrenpreis, el uso de la transformada de Fourier. Por desgracia, yo no sé de un decente de referencia.

Si usted está interesado en la variable coeficiente complejo escalar lineal del PDE, entonces hay un gran trabajo por parte de muchas personas, incluyendo a Hormander, Nirenberg, Treves.

Si usted está interesado en la analítica o de hiperfunción (dual para funciones analíticas, de forma análoga a la distribución de las funciones lisas) la solución de coeficiente constante de los sistemas, entonces, creo, que conduce a la D-módulos y por lo tanto territorio desconocido para mí. Yo creo que hay vínculos con la geometría algebraica.

Pero como otros han mencionado, del PDE, si un escalar de la ecuación o un sistema de ecuaciones, no sucumbir a cualquier tipo de casitas de clasificación o enfoque general. Sólo un par de tipos especiales (los que usted cita) son útiles y manejables. La mayoría no son útiles y más o menos imposible de entender.

También, muchos si no la mayoría de los más importantes e interesantes no son lineales. Y de primero o (más a menudo) de segundo orden. Hay orden superior del PDE que vale la pena estudiar, pero relativamente pocos.