La historia de la Fórmula: En su famoso artículo "Sobre los Determinantes de Laplacians en las Superficies de Riemann" (1986), D'Hoker y Phong calcula el determinante de la Laplaciano $\Delta_n^+$ sobre el espacio $T^n$ de spinor/tensor de campos en la superficie de Riemann compacta $M$ (para simplificar, en esta pregunta, estoy asumiendo $n\geq0$). Sus resultados se lee: $$\det(\Delta_n^+)=\mathcal{Z}_{n-[n]}(n+1)\cdot e^{-c_n\mathcal{X}(M)}.$$
Donde $\mathcal{Z}_{n-[n]}(s)$ son dos Selberg zeta funciones, y $c_n$ es una constante que se calcula explícitamente en el artículo anterior.
En su exposición hay seguro que algunos trivial errores. Uno viene de un error en el artículo de referencia "los coeficientes de Fourier de la resolvent para un Fuchsian grupo" (1977) de Fay, que ha sido considerado en la revisión del papel "de la Geometría de la Cadena Teoría de la Perturbación" (1988) de D'Hoker y Phong. Pero no conduce a ningún cambio en la anteriormente considerada fórmula.
Otro tonto error es un mal uso de la fórmula de volumen para un hiperbólico superficie de Riemann, este ha sido el primero en señalar a cabo por Bolte y Steiner, en su (inédito) ponencia: "Determinantes de Laplace-como los Operadores en las Superficies de Riemann" (1988). En este artículo, los autores utilizan una nueva manera de calcular la misma cantidad $\det(\Delta_n^+)$, pero llegan a un resultado diferente. Llamar a $\frac{1}{2}\Delta_n^+$ lo D'Hoker y Phong llama $\Delta_n^+$ (de acuerdo a Bolte y Steiner), se lee: $$\det(\frac{1}{2}\Delta_n^+)=\mathcal{Z}_{n-[n]}(n+1)\cdot e^{-k_n\mathcal{X}(M)}.$$
Donde la constante $k_n$ ha sido explícitamente calculada, y resulta ser diferente de $c_n$.
Por desgracia, los errores se señaló anteriormente no son suficientes para dar cuenta de la diferencia entre el $c_n$ e $k_n$. Bolte y Steiner sospecha que el error en D'Hoker y Phong podría provenir de una falta del factor de $2$ en la definición de $\Delta_n^+$.
El final de la historia parece ser el artículo "Notas sobre los determinantes de Laplace-tipo de operadores en las superficies de Riemann" (1990) de Oshima. En este artículo, el autor recuerda que la corrección de algunos errores en el documento original de D'Hoker y Phong, además señala un error conceptual hecha por Bolte y Steiner. Por último, simplemente el montaje de los resultados anteriores, se proporciona la siguiente fórmula: $$\det(\frac{1}{2}\Delta_n^+)=\mathcal{Z}_{n-[n]}(n+1)\cdot e^{-l_n\mathcal{X}(M)}.$$
De nuevo $l_n$ es dada de manera explícita, y resulta ser diferente de ambos, $c_n$ e $k_n$.
Pregunta: ¿Es realmente el final de la historia? A mí me parece que el conjunto de situaciones es bastante desordenado, por ejemplo, no hay uno que parece a punto de nuevos específicas de errores en el artículo original de D'Hoker y Phong (debe haber alguna, de acuerdo a Oshima). En específico, hacer los expertos están de acuerdo en la validez de la fórmula proporcionada por Oshima? Hay otros sucesivos artículos sobre el mismo tema?
Nota: he añadido las etiquetas "Aritmética Geometría" y "Teoría Analítica de números" porque el laplacians $\Delta_n^+$ se conjuga con el Maass Laplacians $D_n$ que actúa sobre automorphic formas de peso $n$ a $M$. Así que sospecho que una respuesta podría venir de la gente en la aritmética así.
Muchas gracias por leer todo esto!
