Morava K-teorías para tontos?

Question

El profesor Urs Würgler falleció hace un año, y su esposa grabado en su lápida con "la fórmula que él era el más orgulloso" :

$B(n)_*(X)\cong P(n)_*(K(n))\square_{\Sigma_n}K(n)_*(X)$

Sin embargo, ella no lo entiende, y ella me preguntó si me puede. No puedo. Pero he descubierto que está muy cerca el uno en el Teorema 3.1 p. 121 de

Urs Würgler "Morava K-teorías - una encuesta" De 2006, en Notas de la Conferencia en Matemáticas Vol. 1474 DOI:10.1007/BFb0084741

Así que traté de entender la página de la wikipedia sobre Morava K-teoría , sino que es la forma por encima de mi nivel (Doctorado en dinámica y el control)

Puede alguien tratar de explicar cuál es la fórmula en la llanura inglés, o es definitivamente demasiado abstracto para expresar en lenguaje humano ?

Answer 1

Este es un resultado en topología algebraica, donde estudiamos la estructura de espacios topológicos $X$. Uno de los primeros manera de hacer esto es calcular una cosa que se llama $H_*(X)$, el ordinario de homología de $X$. Más tarde la gente se descubrieron varios "extraordinaria homologías", la cual dar una información más precisa. Hay muchos diferentes extraordinaria homologías, incluyendo a los llamados $P(n)_*(X)$, $B(n)_*(X)$ y $K(n)_*(X)$. De estos, $P(0)$ (también llamado $BP$, o Brown-Peterson homología) es el más poderoso, pero a menudo es muy difícil de calcular. En el otro extremo de la escala, $K(0)$ es el más débil y el más fácil de calcular. En general $K(n)$ es razonablemente fácil. A grandes rasgos, la información en $P(n+1)$ es la información en $P(n)$ menos que la información en $K(n)$, de modo que todas las $P(n)$'s son a menudo difíciles de calcular.

A partir de las definiciones, la obvia conjetura sería que $B(n)$ es sólo un poco más fácil de $P(n)$. Sin embargo, esto resulta ser incorrecta: $B(n)$ contiene exactamente la misma información que $K(n)$ (y así es mucho más fácil de lo que $P(n)$). Si conoces $K(n)_*(X)$ luego Würgler del teorema permite calcular los $B(n)_*(X)$, y una diferente, pero más fácil teorema permite ir en la dirección opuesta.