¿Es esta fórmula de tipo BBP para $\ln 257$ y $\ln 65537$ ¿Es cierto?

Question

Tenemos el conocido Fórmulas de tipo BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) ,

$$\ln3 = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\left(\frac{1}{2n+1}\right)$$

$$\ln5 = \frac{1}{2^2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{4n}}\left(\frac{2^2}{4n+1}+\frac{2^2}{4n+2}+\frac{1}{4n+3}\right)$$

Sin embargo, me he dado cuenta de que si definimos la función

$$R\big(a,b\big) = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2^a)^n}\left(\sum_{j=1}^{a-1}\frac{2^{a-1-j}}{an+j}+\sum_{k=1}^{a/b-1}(-1)^{k+1}\frac{2^{a-1-bk}}{an+bk}\right)\tag1$$

entonces parece que las fórmulas de tipo BBP para Números de Fermat $2^{2^m}+1$ con $m>0$ tienen una forma común,

$$\ln 5 = \frac1{2^{2}}R\big(2^2,2^1\big)$$

$$\ln 17 = \frac1{2^{13}}R\big(2^4,2^2\big)$$

$$\ln 257 = \frac1{2^{252}}R\big(2^8,2^3\big)$$

$$\color{brown}{\ln 65537 \overset{?}= \frac1{2^{65531}}R\big(2^{16},2^4\big)}$$

P: ¿Es la fórmula de $p=65537$ ¿Es cierto?

He utilizado Mathematica para verificar el $p=5,\,17,\,257$ a cientos de dígitos decimales, y también $p=65537$ utilizando sus términos iniciales, pero ¿cómo demostrar rigurosamente que $(1)$ es cierto para los números de Fermat $>3$ ?

P.D. En este papel Los autores no pudieron encontrar $p=65537$ y no aparece en la lista.

Answer 1

Sí, esto es válido para todos los números de Fermat. Empecemos con la identidad $$\log 2=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^k}$$ y tratar de elaborar una expresión para $$\log (2^{2^s}+1)=2^{s}\log 2+\log\left(1-\frac{1}{2^{2^{s+1}}}\right)-\log\left(1-\frac{1}{2^{2^s}}\right)$$ $$=2^s\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^k}\right)-\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^{k2^{s+1}}}\right)+\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^{k2^{s}}}\right)$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n2^{2^s}}}\left(\sum_{j=1}^{2^{2^s}}\frac{2^{s-j}}{n2^{2^s}+j}-\sum_{h=1}^{2^{2^s-s-1}}\frac{2^{-h2^{s+1}}}{n2^{2^{s}-s-1}+h}+\sum_{l=1}^{2^{2^s-s}}\frac{2^{-l2^s}}{n2^{2^s-s}+l}\right)$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n2^{2^s}}}\left(\sum_{j=1}^{2^{2^s}}\frac{2^{s-j}}{n2^{2^s}+j}-\sum_{h=1}^{2^{2^s-s-1}}\frac{2^{-(2h)2^{s+1}}}{n2^{2^{s}-s}+2h}+\sum_{l=1}^{2^{2^s-s}}\frac{2^{-l2^s}}{n2^{2^s-s}+l}\right)$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n2^{2^s}}}\left(\sum_{j=1}^{2^{2^s}}\frac{2^{s-j}}{n2^{2^s}+j}+\sum_{l=1}^{2^{2^s-s}}\frac{(-1)^{l+1}2^{-l2^s}}{n2^{2^s-s}+l}\right)$$ aquí vemos que los términos en $j=2^{2^s}$ y $l=2^{2^s-s}$ se cancelan, por lo que después de factorizar $\frac{1}{2^{2^{2^s}-s-1}}$ nos quedamos con la expresión definitoria de $R$ con $a=2^{2^s}, b=2^s$ : $$\log(2^{2^s}+1)=\frac{1}{2^{2^{2^s}-s-1}}R(2^{2^s},2^s).$$