Ejemplo de secuencias con límites diferentes para dos normas

Question

Estaba explicando a mis alumnos que si hay una desigualdad entre dos normas, entonces hay una inclusión entre sus espacios de secuencias convergentes, con límites coincidentes . Luego procedí a mostrar ejemplos de tales desigualdades en los espacios normados que conocían, y contraejemplos de secuencias que convergen para una norma y no para otra, afirmando la equivalencia de normas en dimensión finita, etc.

Es entonces cuando me pregunté lo siguiente : ¿existe un espacio vectorial, dos normas sobre ese espacio vectorial y una única sucesión que converja para ambas normas, pero con diferente ¿Límites?

La primera observación es que tal contraejemplo no puede existir en dimensión finita; y primero hay que encontrar "normas realmente no equivalentes", que sí existen: consideremos el espacio de polinomios en una variable, y definamos normas sobre él sumando los valores absolutos de los coeficientes :

• primero con un peso $1$ para cada coeficiente ;
• segundo con $2^n$ o $2^{-n}$ en función de la paridad del grado $n$ .

Ahora es fácil encontrar una secuencia que va a cero para el primero y no para el segundo, y una secuencia que va a cero para el segundo y no para el primero - por lo que no puede haber una desigualdad entre ellos.

Nótese que todo esto es sobre los números reales o complejos, aunque la pregunta podría ser divertida en un entorno más general.

Answer 1

Considere el espacio $X$ de polinomios trigonométricos (con período $1$ digamos). Elija las normas $$\|f\|_1=\sup\{|f(x)|;\frac16\le x\le\frac13\},\qquad \|f\|_2=\sup\{|f(x)|;\frac23\le x\le\frac56\}.$$ Consideremos ahora las sumas parciales $f_N$ de la serie de Fourier de la función periódica $F$ definido por $F(x)=0$ si $x\in(0,1/2)$ y $F(x)=1$ si $x\in(1/2,1)$ . En la primera norma, $f_N$ converge a $g\equiv0$ mientras que en la segunda, $f_N$ converge a $h\equiv1$ .

Obsérvese que $F$ no pertenece a $X$ pero esto no tiene ninguna importancia. Tal vez sea incluso natural para construir ejemplos prácticos.

Answer 2

Observe primero que sus espacios de ejemplo no pueden dar lo que usted quiere porque en ambos espacios las funcionales de evaluación de coordenadas son continuas y separan puntos.

Los ejemplos son fáciles. Por ejemplo $\ell_2$ una secuencia linealmente independiente que converge a un vector distinto de cero, tal como $x_n := e_1 + n^{-1}e_n$ , $n=2,3,...$ . Mapa $x_n$ a $n^{-1}e_n$ en $\ell_2$ y se extienden a un isomorfismo lineal de $\ell_2$ en $\ell_2$ .

Answer 3

No sé si consideraría esto un "ejemplo", pero parece que no es tan conocido como cabría esperar.

Teorema. Sea $X$ sea un espacio de Banach y sea $||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ sean normas no equivalentes en $X$ . Entonces existe una secuencia $(x_n)$ en $X$ y $x\neq y \in X$ tal que $x_n \to x$ con respecto a $||\cdot||_1$ y $x_n \to y$ con respecto a $||\cdot||_2$ .

Prueba. Por el teorema de la inversa acotada debe ser que el mapa identidad $\iota: (X, ||\cdot||_1) \to (X, ||\cdot||_2)$ es discontinua. Por lo tanto, por el teorema de la gráfica cerrada debe ser que la gráfica de $\iota$ no está cerrado en $(X, ||\cdot||_1) \times (X, ||\cdot||_2)$ . Como el grafo no es cerrado, podemos elegir una secuencia $(x_n, \iota(x_n))$ en el gráfico que converge en $(X, ||\cdot||_1) \times (X, ||\cdot||_2)$ a algunos $(x,y)$ tal que $(x,y)$ no está en el gráfico. Convergencia en $(X, ||\cdot||_1) \times (X, ||\cdot||_2)$ significa que $x_n \to x$ en $(X, ||\cdot||_1)$ y $\iota(x_n) = x_n \to y$ en $(X, ||\cdot||_2)$ . Pero $(x,y)$ no estar en el gráfico significa que $y \neq x$ .

Answer 4

Me dieron IRL otra hermosa respuesta a esa pregunta, y pensé que sería bueno compartir.

Considere el espacio $\mathbb{K}[X]$ y un polinomio $Q\neq0$ de grado $m$ ; definir una nueva base para el espacio considerando $\mathcal{B}_Q=1,X,\dots,X^m,X^{m+1}-Q,X^{m+2}-Q,\dots$ entonces una norma por $N_Q(P)=\sup_{n\in\mathbb N}\frac1{2^n}|a_n|$ donde $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ son los coeficientes de $P$ en $\mathcal{B}_Q$ .

La misma secuencia $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge ahora a $Q$ para $N_Q$ para cada $Q\neq0$ .

Answer 5

Sólo pensando en voz alta - esto podría ser totalmente irrelevante - se puede encontrar una secuencia de enteros $b_0,b_1,\dots$ tal que $0\le b_i\le4$ y $(b_0+5b_1/7+25b_2/49+\dots+5^nb_n/7^n)^2\equiv-1\pmod{5^{n+1}}$ . Eso hace que la serie $b_0+5b_1/7+25b_2/49+\dots$ convergen, en la norma 5-ádica, a un número cuyo cuadrado es menos uno. En la norma habitual sobre los racionales, la serie converge a algún número real, seguramente no una raíz cuadrada de menos uno.