¿Bijación polinómica de ZxZ a Z?

Question

Se sabe que el polinomio $f(n,m)=\frac{1}{2}(n+m)(n+m+1)+m$ define la biyección $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ (Poner pares de $\mathbb{N}$ en la matriz semi-infinita y contarlas por diagonales). ¿Existe una biyección polinómica $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ ? La cuestión está relacionada con la pregunta abierta sobre la biyección de polinomios $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ aquí .

Answer 1

Es un problema abierto. Resultados máximos sobre biyecciones de $\mathbb N\times \mathbb N$ , $\mathbb Z\times \mathbb N$ , $\mathbb Z\times \mathbb Z$ a $\mathbb N$ están contenidas en

John S. Lew, Arnold L. Rosenberg, Indexación polinómica de puntos enteros de la red I. Conceptos generales y polinomios cuadráticos , J. Number Theory 10 (1978) pp 192-214, doi: 10.1016/0022-314X(78)90035-5 .
Indexación polinómica de puntos enteros de la red II. Resultados de inexistencia para polinomios de grado superior , J. Number Theory 10 (1978) pp 215-243, doi: 10.1016/0022-314X(78)90036-7