¿$M_g$ Está cubierto por un esquema sobre los enteros?

Question

Esta pregunta se le pide por mi casi-respuesta a la pregunta ¿suave y adecuada sobre $\mathbb Z$ implica racional? , pero nunca me llegó a preguntar esto hasta ahora.

Es bien sabido que $M_g$, el espacio de moduli de las curvas, es un buen stack. De hecho es globalmente un cociente de una variedad lisa por la acción de un grupo finito: si tomamos las curvas de nivel de $n \geq 3$ estructura, entonces obtenemos un fino espacio de moduli, y el cociente por $\mathrm{Sp}(2g,\mathbf{Z}/n)$ recupera $M_g$. Sin embargo, sabemos que $M_g$ es en el hecho de suave sobre la $\mathrm{Spec}(\mathbf Z)$, pero esta construcción no funciona a través de los números enteros: necesitamos $n$ no divisible por el carácter. Esto lleva a la primera pregunta:

Pregunta (a): Podría ser cierto que la $M_g = [X/G]$ donde $X$ es un esquema liso sobre los números enteros, y $G$ es un grupo finito?

Es muy posible que esta pregunta es demasiado ingenuo. Tal vez hay un estándar argumento de por qué esto no puede ser cierto, la participación de la estructura de grupo de sistemas y salvaje de la inercia y otras cosas. No obstante, uno puede pedir algo más débil:

A la pregunta (b): hay un esquema de $X$, liso sobre los números enteros, con un número finito de mapa de $X \to M_g$? ¿Y si sólo pedimos que sea adecuado y de forma genérica finito?

Un (presumiblemente más difícil) la pregunta es ¿qué pasa en la frontera, es decir, si uno reemplaza $M_g$ con $\overline M_g$ o $\overline M_{g,n}$. Como mencioné en mi respuesta a la pregunta enlazado más arriba, se sabe que más de cierto $\mathrm{Spec}(\mathbf Z[\frac 1 d])$ uno puede escribir $\overline M_g$ e $\overline{M}_{g,n}$ global de cocientes por las acciones de los grupos finitos, usando ahora no abelian nivel de estructuras.

Answer 1

He aquí una sugerencia en el género $g=2$ de los casos. Si se considera un género 2 superficie de Riemann, entonces es bien sabido que es hyperelliptic, y los puntos fijos de la hyperelliptic involución son 6 Weierstrauss puntos. Si uno de los cocientes por la hyperelliptic la involución, el cociente es una esfera de Riemann con 6 distinguido puntos que son las imágenes de la Weierstrauss puntos. Así espacio de moduli es isomorfo al espacio de 6 puntos en una esfera, hasta la conformación de equivalencia. Hay un número finito de la tapa de este, que es el espacio de 6 puntos marcados, hasta la conformación de equivalencia. Así, el espacio de moduli es $$ S_6 \backslash ((\mathbb{CP}^1)^6- \Delta)\ /\ PSL(2,\mathbb{C}),$$ donde $\Delta$ denota la gran diagonal, y se corta por $\Delta = \{ (z_1,\ldots, z_6) | z_i \neq z_j\ for\ i\neq j\}$, e $S_6$ hechos por permuting coordenadas y $PSL(2,\mathbb{C})$ actos coordinatewise . Desde $PSL(2,\mathbb{C})$ actos fielmente ordenados en triples, podemos normalizar los últimos tres coordenadas se $0, 1, \infty$, por lo que el $$ ((\mathbb{CP}^1)^6- \Delta) / PSL(2,\mathbb{C}) \cong \{ (z_1,z_2,z_3)\in \mathbb{C}-\{0,1\} | z_i\neq z_j, i\neq j\}.$$ Este es isomorfo a una variedad afín definida sobre $\mathbb{Z}$ por la costumbre truco de la introducción de tres nuevas coordenadas y ecuaciones $(z_i-z_j)t_{ij}=1$, $i\neq j \in \{1,2,3\}$ y tiene un cociente por $S_6$ que es isomorfo a $M_2$. El grupo de elementos de $S_6$ act como parte integral fraccionaria de transformaciones.

Así que la sugerencia es tomar el afín esquema definido por el espectro de la coordenada anillo de esta variedad afín definida sobre $\mathbb{Z}$. Pero no sé lo suficiente acerca de los esquemas o pilas para saber si esto funciona para lo que quieres hacer.