En esta publicación de Google + de Urs Schreiber, dice: "La calificación sobre el espectro de la esfera es supersimetría" y luego nos redirige a la idea abstracta de superalgebra (en nLab).
¿Hay algunas referencias (aparte de Kapranov y nLab) sobre estas ideas?
Pongámonos de acuerdo en que lo que "supersimetría" significa que tiene algo que ver con el trabajo en el monoidal simétrica categoría de super espacios vectoriales (por ejemplo, puede que quiera considerar la posibilidad de álgebras de Lie o álgebras conmutativas en esta categoría), o algo parecido. La pregunta es qué, si algo, esto tiene que ver con la esfera de espectro.
Aquí es al menos el comienzo de la historia como yo la entiendo. La esfera de espectro tiene la siguiente característica universal: es el espectro libre, o la libre bucle infinito espacio, en un punto. Dicho de una manera más explícita, más categóricamente,
La esfera del espectro de $\mathbb{S}$ es el libre monoidal simétrica $\infty$-groupoid con inversos en un punto.
Bien, pero $\infty$ es un número bastante grande, así que vamos a blindarse de toda la potencia de este resultado por $n$-truncar. Ahora dice
El $n$-truncamiento $\Pi_{\le n}(\mathbb{S})$ de la esfera del espectro es la libre monoidal simétrica $n$-groupoid con inversos en un punto.
Ahora vamos a especializarse este resultado para valores pequeños de $n$.
$n = 0$ es fácil y familiar: el $0$-truncamiento de la esfera espectro (el cero estable homotopy grupo de esferas, que es) $\mathbb{Z}$, y la universalidad de sus propiedades es que es la libre abelian grupo en un punto.
$n = 1$: el $1$-truncamiento de la esfera de espectro es un monoidal simétrica groupoid con $\pi_0 \cong \mathbb{Z}$ e $\pi_1 \cong \mathbb{Z}_2$, y la universalidad de sus propiedades es que es la libre monoidal simétrica groupoid con los inversos (a veces llamado un "Picard groupoid") en un punto. Esto significa que si $C$ es cualquier otro monoidal simétrica categoría (vamos a estar trabajando con su máxima subgroupoid) y $c \in C$ es invertible objeto en $C$, entonces hay una canónicamente definido monoidal simétrica functor $\mathbb{S} \to C$ que toma el valor de $c$ sobre el generador de $1 \in \pi_0(\mathbb{S})$. En los objetos envía $n \in \pi_0(\mathbb{S})$ a $c^{\otimes n}$, mientras que en morfismos envía $-1 \in \pi_1(\mathbb{S})$ a el "signo" de $c$, es decir, el valor de la trenzado
$$\beta_{c, c} : c \otimes c \to c \otimes c$$
considerado como un elemento de $\text{Aut}(c \otimes c) \cong \text{Aut}(1)$ donde $1$ es el tensor de la unidad (esta identificación es canónica dado que el $c$ es invertible). En particular, este es igual a $-1$ sobre el extraño invertible super espacio vectorial y $1$ en la invertible super espacio vectorial. (Varias otras descripciones de cómo $-1 \in \pi_1(\mathbb{S})$ actos son posibles: por ejemplo, también puede ser descrito como $\text{tr}(\text{id}_c)$. Esto viene de la cobordism hipótesis.)
A partir de aquí es posible dar una característica universal de una versión de super espacios vectoriales: a saber,
El monoidal simétrica categoría de $\mathbb{Z}$-graduada de espacios vectoriales sobre un campo $k$ equipada con el Koszul signo de la regla es la libertad de monoidal simétrica cocomplete $k$-lineal de la categoría en una invertible objeto de firmar $-1$.
Uno podría esperar, por ejemplo, definir superior análogos de super espacios vectoriales mediante el aumento de la categoría de número a partir de aquí. Ganter y Kapranov también el uso de la $2$-truncamiento $\Pi_{\le 2}(\mathbb{S})$ definir superior análogos de el carácter de signo y, por tanto, simétrica y exterior poderes aquí.
Sin embargo, hay razones para creer que esto no es realmente lo que está pasando. Super espacios vectoriales son, posiblemente no muy interesante, porque de cómo los mapas fuera de ellos se comportan, pero debido a la forma de los mapas en ellos se comportan, es decir, Deligne del teorema acerca de niza monoidal simétrica categorías de admitir a una fibra functor de super espacios vectoriales. Este teorema se puede intepreted como decir que la monoidal simétrica categoría de super espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ es en algún sentido "algebraicamente cerrado" (compare: cada finito-dimensional conmutativa $k$-álgebra admite un álgebra de homomorphism a la clausura algebraica de $k$), o incluso el "algebraico " cierre" de, digamos, la monoidal simétrica de la categoría de espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$.
Así que una reivindicación diferentes acerca de lo que "supersimetría" realmente es, es que es el estudio de categorified algebraicas cierres en este sentido. En particular, el análogo del teorema anterior con $\mathbb{R}$ reemplazados por otros campos de falla en característica positiva: una conjetura acerca de la correcta sustitución se da por Ostrik aquí. Esto lo aprendí de Theo Johnson-Freyd; véase, por ejemplo, este documento, donde se da tres conjeturas de cómo esta teoría de categorified algebraicas cierres de $\mathbb{R}$ generaliza a un mayor número de categoría, de los cuales sólo uno está relacionado con la esfera del espectro.
Como Schreiber hace en su post, me gustaría anunciar el punto de vista desarrollado por Sagave y Schlichtkrull en su Adv. de Matemáticas 2012 de papel, y se utiliza para el estudio topológico logarítmica de la geometría. Cada simétrica espectro de $X$ tiene el graduado subyacente espacio que es realmente una $J$-diagrama en forma de $Y$. Aquí $J$ es una categoría con nervio $QS^0$, lo $hocolim_J Y$ mapas a $QS^0$. Si $X$ es un conmutativa simétrica anillo de espectro, a continuación, $hocolim_J Y$ es $E_{\infty}$ más de espacio que en $QS^0$, es decir, se clasifica sobre la esfera del espectro. Sagave comenzó el desarrollo de esta, mientras que un postdoctorado en Oslo. He notado que el nervio de $J$ no $Z$ pero algo con $\pi_1 = Z/2$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
