¿Hay alguna configuración superestable en el juego de la vida?

Question

Esta pregunta se basa en la reciente pregunta de Gil Kalai sobre El juego de la vida de Conway para una configuración inicial aleatoria .

Hay numerosas configuraciones en el juego de la vida que se sabe que son estables, como bloques, colmenas, parpadeos y sapos ---en el sentido de que si aparecen en un tablero que por lo demás está vacío o en una parte del tablero que por lo demás permanece vacía, entonces perseverarán (o al menos reaparecerán en algún periodo) en el futuro indefinido. Sin embargo, todos los ejemplos comunes de tales configuraciones parecen desintegrarse cuando se colocan en un entorno hostil; cuando son golpeados por un planeador u otra nave espacial, por ejemplo, estas configuraciones estables comunes pueden arruinarse por completo.

Mi pregunta es si hay alguna superestable configuración, que puede sobrevivir incluso en cualquier entorno hostil.

Pregunta 1. ¿Hay alguna configuración superestable en el juego de la vida?

En concreto, definamos que una configuración finita es superestable, si puede sobrevivir en cualquier entorno, por muy hostil que sea, lo que significa que si alguna vez aparece en el tablero, volverá a aparecer definitivamente más tarde exactamente en esa misma posición, independientemente de lo que ocurra en el tablero. Tal vez la posición esté aislada de algún modo, absorbiendo lo que ocurre a su alrededor; o tal vez sea una fuente fuerte de algún tipo, que arroja planeadores u otros objetos, independientemente de lo que haya a su alrededor; o tal vez sea un núcleo rodeado de aspiradores circundantes, patrones de viaje que barren lo que pueda interferir.

Esta cuestión está relacionada con la de Gil Kalai, en el sentido de que si existen tales configuraciones superestables, entonces esperaremos que la posición aleatoria infinita las tenga con cierta (aunque muy pequeña) densidad, lo que nos permitirá demostrar límites inferiores en la densidad de la posición aleatoria infinita viva esperada.

También se puede imaginar una versión planeadora de la superestabilidad, en la que el patrón sobrevive, pero con algún desplazamiento no nulo:

Pregunta 2. ¿Hay algún planeador superestable?

Es decir, ¿existe un patrón finito que, independientemente del entorno en el que se encuentre, se repetirá en algún momento futuro con algún desplazamiento? Una forma fuerte de tal planeador superestable pediría también que fuera una aspiradora, lo que significa que se desliza en cualquier entorno dado dejando sólo celdas vacías a su paso.

Pregunta 2b. ¿Existe un vacío de planeador superestable?

Puedo imaginarme un pequeño planeador que borre todo a su paso; o tal vez haya una especie de muro móvil, que empuje constantemente contra lo que tenga enfrente, dejando el vacío detrás. Si existiera tal vacío deslizante superestable que también se moviera en una dirección definida, entonces, por supuesto, no podría haber una posición estacionaria superestable, ya que, de lo contrario, podríamos aspirarlo.

Otra alternativa parece ser que toda configuración finita en el juego de la vida es destructible, en el sentido de que se puede diseñar para ella un entorno especialmente hostil, que lleve a la muerte final.

Pregunta 3. ¿Son destructibles todas las configuraciones finitas?

En otras palabras, ¿puede cada configuración finita en el juego de la vida extenderse a una configuración mayor cuyo desarrollo conduzca en un tiempo finito a una posición sin células vivas? Una versión más débil de esto pediría simplemente que la configuración se extienda a una configuración tal que, eventualmente, la configuración original no se repita en ninguna subproporción del tablero.

Answer 1

La existencia de una "configuración superestable" es una cuestión cuestión abierta en la comunidad del Juego de la Vida. Hace años vi a Conway preguntarlo de la siguiente manera: ¿Existe una configuración $N$ y una configuración $C$ en un $N \times N$ cuadrado que contiene alguna célula viva $c$ y garantiza que $c$ permanecerá vivo para siempre, independientemente de lo que se coloque fuera de la $N \times N$ cuadrado en la configuración inicial? Creo que lo que se espera es que no haya tal $C$ existe pero una prueba sería muy difícil.

Answer 2

Creo que podría ser interesante mencionar que existe algo que cumple la definición de configuración superestable finita si añadimos arbitrariamente poco ruido a las reglas originales del GoL ( El juego de la vida de Conway para una posición inicial aleatoria ). La configuración es trivial - región finita completamente vacía. Mediante un argumento en el espíritu del segundo lema de Borel-Cantelli, vemos que "si alguna vez aparece en el tablero, entonces definitivamente reaparecerá más tarde exactamente en esa misma posición, independientemente de lo que ocurra en el tablero". Perdón si esto se sale del tema.