El teorema de incrustación de Hahn y la pregunta abierta más antigua de la teoría de conjuntos

Question

Hans Hahn se acredita a menudo con la creación de la teoría moderna de la ordenó sistemas algebraicos con la publicación de su libro Über die nichtarchimedischen Grössensysteme (Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse 116 (Abteilung IIa), 1907, pp 601-655). Entre los resultados que en ella se establecen es Hahn Incrustación Teorema, que es generalmente considerada la más profunda resultado en la teoría de la ordenó abelian grupos. Los siguientes son dos de sus conocidas formulaciones:

(i) Todos los pedidos de abelian grupo es isomorfo a un subgrupo de un Hahn Grupo.

(ii) Todos los pedidos de abelian grupo G es isomorfo a un subgrupo de G' de un Hahn Grupo, el último de los cuales es una de Arquímedes extensión de G'.

(Para las definiciones y moderna de las pruebas, véase: A. H. Clifford [1954], Nota sobre el teorema de Hahn ordenados Abelian grupos, Actas de la Sociedad Matemática Americana, vol. 5, pp 860-863; Laszlo Fuchs [1963], Parcialmente ordenado sistemas algebraicos, Pergamon Press.)

Hahn pruebas (y todas las pruebas) de (i) y (ii) hacer uso del Axioma de Elección o algunos ZF-equivalente. Por otra parte, mientras que la escritura antes de la formulación completa de ZF (de la Fundación y de Reemplazo, aún no se había incluido), Hahn sostuvo que él creía que su incrustación teorema no puede establecerse sin la buena ordenación teorema, que había sido establecido por Zermelo el uso de la Opción (y posteriormente fue demostrado ser equivalentes en ZF a la Elección). A mi entender, esta esencialmente equivale a la primera conjetura de que una expresión algebraica resultado es equivalente (en ZF) a una afirmación equivalente al Axioma de Elección. Sorprendentemente, ambos Hahn uso de la Opción y su conjetura es pasado por alto en el conocido historias de el Axioma de Elección, incluyendo el excelente por Gregory Moore. Al parecer sin el conocimiento de Hahn conjetura, D. Gluschankof (implícitamente) se le preguntó si (i) es equivalente al Axioma de Elección en ZF en su papel de La Hahn Representación Teorema de ℓ-Grupos en ZFA, (El Diario de la Lógica Simbólica, Vol. 65, Nº 2 (Jun., 2000), pp 519-52). Sin embargo, Gluschankof no respondió a la pregunta y, por desgracia, murió poco después de la recaudación. R. Downey y Solomon R. (en su papel Inversa de Matemáticas, Clases de Arquímedes, y del Teorema de Hahn) establecer una contables de la versión del teorema de Hahn sin usar en su Elección, pero su técnica no se extiende al caso general.

Esto lleva a mis dos preguntas:

1. Alguien ha establecido o refutada Hahn Conjetura?

2. Suponiendo (como sospecho) la respuesta a 1 es "no", es el estado de Hahn Conjetura de los más antiguos pregunta abierta en la Teoría de conjuntos?

Enmienda (Respuesta a la solicitud de referencias)

Asaf: Hay numerosas pruebas de Hahn Incrustación Teorema en la literatura además de las especialmente sencilla debido a Clifford. Una prueba está en las páginas 56-60 de Laszlo Fuchs es Parcialmente ordenado sistemas algebraicos [1963] Pergamon Press. En la página 60 de la solo-dijo que el trabajo que hay también referencias a varias otras pruebas, incluyendo los de Clifford, Banaschewski, Gravett, Ribenboim y Conrad. Otra prueba, estrechamente relacionado con el de Fuchs (incluyendo todos los preliminares) se puede encontrar en el Capítulo 1 de Norman Alling de Fundamentos de Análisis más Surrealista Número de Campos, North-Holland, 1987. Otro muy buen tratamiento, incluyendo todos los preliminares, se puede encontrar en el Capítulo 1 de H. Garth Valles y W. H. Woodin del Super-Real Campos, Oxford, 1996.También hay una interesante prueba en Jean Esterle del Remarques sur les théorèmes d'immersion de Hahn et Hausdorff et sur les corps de séries formelles, Revista Trimestral de Matemáticas 51 (2000), pp 2011-2019.

Por ahora un poco anticuado de la historia del Teorema de Hahn, ver a mi:

Hahn Über die nichtarchimedischen Grössensysteme y los Orígenes de la Moderna Teoría de las Magnitudes y Números a la Medida de Ellos, en la De Dedekind a Gödel: Ensayos sobre el Desarrollo de los Fundamentos de las Matemáticas, editado por Jaakko Hintikka, Kluwer Academic Publishers, 1995, pp 165-213. (Un tipo de versión del documento se puede descargar desde mi sitio web: http://www.ohio.edu/people/ehrlich/)

Por último, debo señalar que la primera, pero en gran parte olvidado, en conjunto moderno de la prueba del teorema de Hahn se pueden encontrar en las páginas 194-207 de Felix Hausdorff es, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig [1914]. Fue la falta de familiaridad con Hausdorff de la prueba y la necesidad de una concisa moderna prueba que llevó a la gran cantidad de pruebas en la década de 1950.

Answer 1

No sé la respuesta a (1), y se alegraría a pensar un poco más tarde de esta semana. Independientemente a (1) la respuesta a (2) es semi-negativo.

Hay dos conjeturas que parecen ser ligeramente mayores (aunque no por mucho) que esta de Hahn, a pesar de que ambos no fueron explícitamente como conjeturas, pero desde que se fue sin pruebas, y a veces hubo disputas sobre la verdad de los valores de estas declaraciones, por lo que prefiero pensar acerca de ellos, como conjeturas (y en términos modernos, creo que sería correcto, demasiado).

1. En 1905 Schoenflies afirmó que la declaración "no Hay disminución de la secuencia de los cardenales" implica el axioma de elección. Esto es todavía abierta, a pesar de Zermelo en 1908 rechazó el reclamo.

2. En 1902 Beppo Levi introdujo la Partición Principio afirmando que si $S$ es una partición de $A$ entonces $|S|\leq|A|$. A pesar de que él acuñó este principio para argumentar en contra de su uso por parte de Bernstein, el último rechazó las críticas y afirmó que este es uno de los principios más importantes de la teoría de conjuntos.

   Por supuesto, todo esto fue antes de Zermelo incluso introdujo el axioma de elección en 1904. Pero en 1906, en un manuscrito inédito de Russell afirmó que AC es equivalente a los del PP, pero este fue sin prueba y la conjetura sigue abierto hasta el día de hoy.

   De forma más precisa, sin embargo, Russell demostró que el PP sigue a partir de otro principio, y reclamó a la inversa implicación tiene así (sin prueba), y en 1908 demostrado que el otro principio es equivalente al axioma de elección.

Así que tenemos dos conjeturas a partir de 1906, con respecto a la equivalencia de las dos instrucciones en el axioma de elección. Ninguno de los dos ha sido probado todavía, y ha habido muy poco progreso (a mi conocimiento) en la obtención de cualquier respuesta concreta. Mi opinión es que carecemos de las herramientas adecuadas para manejar la compleja estructura de los cardenales en los modelos sin elección. Pero estoy divagando.

Toda la información que he dado aquí se toma en el siguiente documento:

Bernhard Banaschewski, Gregory H. Moore, El doble de Cantor-Bernstein y teorema de la partición principio, la catedral de Notre Dame, J. la Lógica Formal 31 (3), (1990), 375-381.

Junto con las muchas horas que he dedicado a la lectura y los resultados de búsqueda relacionados con estos temas (que a mí me hizo bastante seguro de que se ha avanzado poco en estos problemas).

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Answer 2

Con respecto a

1. En 1902 Beppo Levi introdujo la Partición Principio afirmando que si S es una partición de Una |S|≤|A|. A pesar de que él acuñó este principio para argumentar en contra de su uso por parte de Bernstein, el último rechazó las críticas y afirmó que este es uno de los principios más importantes de la teoría de conjuntos.

Este es un trivial thm de ZFC, pero definitivamente no es demostrable en ZF+DC, en particular, en el caso A = los reales y S = Vitali partición de R/Q, como Sierpinski establecido en la década de 1920, que cualquier inyección de R/Q\a R implica que no se pueden medir conjunto de reales, cuya existencia no es demostrable en ZF+DC por Solovay.

Con respecto a los más antiguos no resueltos problema concreto en la teoría de conjuntos, esto es, probablemente, uno de Hausdorff preguntas sobre pantachies, es decir,

hay un pantachy que contiene no $(\omega_1,\omega_1^\ast)$ brecha (H, Untersuchungen über Ordnungstypen, V, 1907, 05 de Mayo)

Quiero señalar que este es un concreto problema de la existencia de un determinado objeto matemático, en lugar de una pregunta abstracta sobre las interrelaciones de las diferentes formas de AC repartidas en el conjunto del universo.

Ver más sobre este problema en mi estudio "Huecos en la parte de conjuntos ordenados" (12.1) en Hausdorff del Gesammelte Werke Banda 1A, Springer 2013, 367-405, con referencias adicionales a Goedel (que redescubrió el problema con total ignorancia de la Hausdorff la formulación original), Solovay, Kanamori.