Sobre la probabilidad de la verdad de la hipótesis del continuo

Question

En primer lugar observamos que existe una medida natural $\mu$ a $P(\omega \times \omega)$, heredado de la medida de Lebesgue en los reales (mediante la identificación de los reales con $P(\omega)$ e $\omega$ con $\omega \times \omega$ en las formas naturales)

Vamos a considerar los modelos de $ZFC$ de la forma $(\omega, E),$ donde $E \subseteq \omega \times \omega$ se interpreta como el $\in$-relación.

Dada una teoría de la $T \supseteq ZFC,$ consideremos el conjunto $M_T=\{E \subseteq \omega \times \omega:(\omega, E)$ es un modelo de $T\}$

Pregunta 1. Es el conjunto $M_{ZFC}$ medibles? Si es así, ¿cuál es su medida?

En el caso de que la respuesta a la pregunta anterior es sí, y la medida es positiva, entonces uno puede hacer preguntas como las siguientes, que pueden medir la verdad o la falsedad de declaraciones como $CH$.

Pregunta 2 ¿Cuál es la medida de $M_{ZFC+CH}?$ ¿Qué acerca de la $M_{ZFC+\neg CH}?$

Si la respuesta a la pregunta 1 es negativa, entonces uno puede hacer las siguientes preguntas:

Pregunta 3. ¿Qué acerca de las preguntas 1 y 2 si se sustituye la medida con el exterior de la medida de la exigencia de conjuntos?

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Edit: Por la respuesta dada por Wojowu, y su sugerencia, también me gustaría preguntar lo siguiente:

Pregunta 4. ¿Qué sucede si reemplazamos $ZFC$ con $ZFC -$fundación?

Answer 1

Para cualquier $E$ de modelos de ZFC y para cada una de las $n\in\omega$, debemos tener $(n,n)\not\in E$. Por lo tanto, $M_{ZFC}$ está contenida en el cilindro conjunto definido por $(0,0)\not\in E,\dots,(n,n)\not\in E$ el cual tiene una medida de $2^{-n-1}$. Por lo tanto, $M_{ZFC}$ ha exterior de medida cero, por lo que es medible y tiene medida cero.

Habíamos excluido de la diagonal de $\omega\times\omega$, no podemos tener ambas $(n,m)\in E,(m,n)\in E$ para $n\neq m$, por lo que tenemos infinitamente muchos independiente de las condiciones de cada uno de medida $3/4$, así que de nuevo tenemos exterior de medida cero.

Excluyendo de la fundación de ZFC que hace que este método no funciona, por lo que se puede hacer para una pregunta más interesante, pero tal vez podemos usar una táctica similar.

Edit: Sin fundamento, vamos a $M_n$ el conjunto de los modelos de ZFC-Fundación para el que $n$ representa el conjunto vacío. Tenemos una infinidad de condiciones de $(m,n)\not\in E$, lo $M_n$ ha exterior de medida cero. Desde $M_{ZFC-Foundation}$ es una contables de la unión de $M_n$, tiene medida cero también. Ya no sé de una variante razonable de ZFC que no prueba la existencia del conjunto vacío, creo que se cierra el caso.

Answer 2

Esta respuesta es en realidad una extensa elaboración de los comentarios de Andreas Blass y fedja.

Para cualquier relacional del lenguaje $L$, vamos a $X_L$ ser el espacio de todas las $L$-estructuras con el dominio $\omega$. Para determinar el $L$-estructura con el dominio $\omega$, sólo tenemos que decidir, para cada relación símbolo $R\in L$ de arity $\text{ar}(R)$ y cada tupla $a_1,\dots,a_{\text{ar}(R)}$ de $\omega$, o si no $R(a_1,\dots,a_{\text{ar}(R)})$ mantiene. Por lo $X_L$ es en bijection con el espacio de Cantor $\prod_{R\in L}2^{\omega^{\text{ar}(R)}}$ (y la topología en $X_L$ se define de modo que este es un bijection homeomorphism). Vamos a denotar por $\mu$ la medida en $X_L$ heredado de la medida natural en el espacio de Cantor.

El espacio de $X_L$ también viene con una acción (que se llama la lógica de la acción) de $S_\infty$, la permutación grupo de $\omega$. Una permutación $\sigma\in S_\infty$ actúa en $X_L$ por permuating los dominios de las estructuras. Que es, $$\sigma(M)\models R(a_1,\dots,a_{\text{ar}(R)})\text{ iff }M\models R(\sigma^{-1}(a_1),\dots,\sigma^{-1}(a_{\text{ar}(R)})).$$ Then $\sigma$ is an isomorphism $M\cong \sigma(M)$, and the orbit of a point $M\en X_L$ under the action of $S_\infty$ is $$\text{Iso}(M) = \{N\in X_L\mid N\cong M\}.$$ Note that the natural measure on $X_L$ es invariante por la lógica de la acción. Para más información sobre esta configuración, consulte la Sección 16.C de Kechris del libro Clásico Descriptivo de la Teoría de conjuntos.

Ahora la clase de todos los finita $L$-estructuras es un Fraïssé clase con Fraïssé límite de $M_L$. Es un hecho que el $\mu(\text{Iso}(M_L)) = 1$ e $\text{Iso}(M_L)$ es comeager en $X_L$. Así, la estructura $M_L$ es "genérica hasta el isomorfismo" desde el punto de vista de la medida y de categoría de Baire.

En su pregunta, el espacio en el que su medida vidas es $X_L$ con $L = \{E\}$, y su medida es la medida natural $\mu$. Por el hecho de más arriba, para $L$-sentencia de $\varphi$, escribir $[\varphi] = \{N\in X_L\mid N\models \varphi\}$, tenemos $$\mu([\varphi]) = \begin{cases} 1&\text{if } M_L\models \varphi \\ 0&\text{otherwise}\end{cases}$$ Por supuesto, $M_L$ no se parece en nada a un modelo de la teoría de conjuntos - que no deben dejar de cumplir con casi todos los axiomas, aunque no satisfacer extensionality.

Ok, por lo que la medida natural $\mu$ da la medida de $0$ a los modelos de ZFC (y lo mismo vale para cualquier de primer orden de la teoría que no está contenida en $\text{Th}(M_L)$. Usted podría preguntar si hay otras medidas en $X_L$ que dan la medida de $1$ a los modelos de ZFC. Por supuesto, usted tendrá que imponer algunas restricciones, ya que siempre se puede elegir la Dirac medir la concentración en un solo punto (bueno, suponiendo que ZFC es consistente!).

Natural de la idea es encontrar una medida que todavía es invariante por la lógica de la acción. Pero esto es imposible, por la razón señalada por fedja. Explícitamente, supongamos $\mu$ es un invariante de la medida en $X_L$, lo que da la medida de $1$ a los modelos de ZFC. Para $n\in \omega$, vamos a $Y_n$ ser el conjunto de todas las estructuras en $X_L$ de manera tal que el "conjunto" $n$ no tiene elementos. Por la invariancia, $\mu(Y_n) = \mu(Y_m)$ para todos los $m$ e $n$, pero $\mu(Y_n\cap Y_m) = 0$ para todos los $m\neq n$. Pero contables aditividad, no podemos tener una familia infinita de casi seguramente conjuntos disjuntos de un espacio de probabilidad, todos con la misma medida positiva.

Más generalmente, si $\mu$ es un invariante de la medida en $X_L$, lo que da medida positiva para el conjunto de modelos de primer orden de teoría de la $T$,, a continuación, $T$ debe tener una terminación con trivial definibles por el cierre: es decir, no debe ser un modelo de $M\models T$ que si $\varphi(x,y)$ es una fórmula, donde $x$ es una tupla de variables y $y$ es un singleton, y $a$ es una tupla de $M$ tal de que no hay una única $b\in M$ tal que $M\models \varphi(a,b)$, entonces ya $b$ es un elemento de la tupla $a$.

Ackerman, más Libre, y Patel demostrado que no trivial definibles por el cierre es en realidad el único obstáculo para la existencia de invariantes medidas en $X_L$ dando medida positiva para una teoría dada. Ver Teorema 1.2 de este documento.

Así que una cosa que puedes hacer es tomar ZFC y reemplazar la igualdad con una equivalencia relación con infinidad de infinitas clases (es decir, "blow up" de cada elemento de un modelo a una infinita equivalence class). Esto es conveniente hacerlo en el idioma de los conjuntos, por el debilitamiento de la extensionality el axioma de que la si $X$ e $Y$ tienen exactamente los mismos elementos, entonces son elementos de exactamente la misma establece. El resultado de la teoría ZFC no admitir invariante medidas que den su conjunto de modelos de medida $1$ (de nuevo, suponiendo que ZFC es consistente). Pero también lo hace (ZFC + CH)' y (ZFC + $\lnot$CH)', y creo que sería difícil hacer un argumento para preferir las medidas de concentración de (ZFC + CH)' sobre los concentrándose en (ZFC + $\lnot$CH)' o viceversa. Así que por desgracia no creo que este camino conduce a una forma significativa para asignar una "probabilidad" de CH.